宋史

卷二十八

◎律歷八

○明天曆

步晷漏術

二至限：一百八十一日六十二分。

一象度：九十一度三十一分。

消息法：一萬六百八十九。

辰法：三千二百五十。

刻法：三百九十。

半辰法：一千六百二十五。

昏明刻分：九百七十五。

昏明：二刻一百九十五分。

冬至嶽臺晷景常數：一丈二尺八寸五分。

夏至嶽臺晷景常數：一尺五寸七分。

冬至後初限、夏至後末限：四十五日六十二分。

夏至後初限、冬至後末限：一百三十七日。

求嶽臺晷景入二至後日數：計入二至後來日數，以二至約餘減之，仍加半日之分，即爲入二至後來日午中積數及分。

求嶽臺晷景午中定數：置所求午中積數，如初限以下者爲在初；已上者，覆減二至限，餘爲在末。其在冬至後初限、夏至後末限者，以入限日減一千九百三十七半，爲泛差；仍以入限日分乘其日盈縮積，（盈縮積在日度術中。）五因百約之，用減泛差，爲定差；乃以入限日分自相乘，以乘定差，滿一百萬爲尺，不滿爲寸、爲分及小分，以減冬至常晷，餘爲其日午中晷景定數。若所求入冬至後末限、夏至後初限者，乃三約入限日分，以減四百八十五少，餘爲泛差；仍以盈縮差減極數，餘者若在春分後、秋分前者，直以四約之，以加泛差，爲定差；若春分前、秋分後者，以去二分日數及分乘之，滿六百而一，以減泛差，餘爲定差；乃以入限日分自相乘，以乘定差，滿一百萬爲尺，不滿爲寸、爲分及小分，以加夏至常晷，即爲其日午中晷景定數。

求每日消息定數：置所求日中日度分，如在二至限以下者爲在息；以上者去之，餘爲在消。又視入消息度加一象以下者爲在初；以上者，覆減二至限，餘爲在末。其初、末度自相乘，以一萬乘而再折之，滿消息法除之，爲常數。乃副之，用減一千九百五十，餘以乘其副，滿八千六百五十除之，所得以加常數，爲所求消息定數。

求每日黃道去極度及赤道內外度：置其日消息定數，以四因之，滿三百二十五除之爲度，不滿，退除爲分，所得，在春分後加六十七度三十一分，在秋分後減一百一十五度三十一分，即爲所求日黃道去極度及分。以黃道去極度與一象度相減，餘爲赤道內、外度。若去極度少，爲日在赤道內；若去極度多，爲日在赤道外。

求每日晨昏分及日出入分：以其日消息定數，春分後加六千八百二十五，秋分後減一萬七百二十五，餘爲所求日晨分；用減元法，餘爲昏分。以昏明分加晨分，爲日出分；減昏分，爲日入分。

求每日距中距子度及每更差度：置其日晨分，以七百乘之，滿七萬四千七百四十二除爲度，不滿，退除爲分，命曰距子度；用減半周天，餘爲距中度。（若倍距子度，五除之，即爲每更差度及分。若依司辰星漏歷，則倍距子度，減去待旦三十六度五十二分半，餘以五約之，即每更差度。）

求每日夜半定漏：置其日晨分，以刻法除之爲刻，不滿爲分，即所求日夜半定漏。

求每日晝夜刻及日出入辰刻：倍夜半定漏，加五刻，爲夜刻。用減一百刻，餘爲晝刻。以昏明刻加夜半定漏，滿辰法除之爲辰數，不滿，刻法除之爲刻，又不滿，爲刻分。命辰數從子正，算外，即日出辰刻；以晝刻加之，命如前，即日入辰刻。（若以半辰刻加之，即命從辰初也。）

求更點辰刻：倍夜半定漏，二十五而一，爲點差刻；五因之，爲更差刻。以昏明刻加日入辰刻，即甲夜辰刻；以更點差刻累加之，滿辰刻及分去之，各得更點所入辰刻及分。（若同司辰星漏歷者，倍夜半定漏，減去待旦一十刻，餘依術求之，即同內中更點。）

求昏曉及五更中星：置距中度，以其日昏後夜半赤道日度加而命之，即其日昏中星所格宿次，其昏中星便爲初更中星；以每更差度加而命之，即乙夜所格中星；累加之，得逐更中星所格宿次。又倍距子度，加昏中星命之，即曉中星所格宿次。（若同司辰星漏歷中星，則倍距子度，減去待旦十刻之度三十六度五十二分半，餘約之爲五更，即同內中更點中星。）

求九服距差日：各於所在立表候之，若地在嶽臺北，測冬至後與嶽臺冬至晷景同者，累冬至後至其日，爲距差日；若地在嶽臺南，測夏至後與嶽臺晷景同者，累夏至後至其日，爲距差日。

求九服晷景：若地在嶽臺北冬至前後者，以冬至前後日數減距差日，爲餘日；以餘日減一千九百三十七半，爲泛差；依前術求之，以加嶽臺冬至晷景常數，爲其地其日中晷常數。若冬至前後日多於距差日，乃減去距差日，餘依前術求之，即得其地其日中晷常數。若地在嶽臺南夏至前後者，以夏至前後日數減距差日，爲餘日；乃三約之，以減四百八十五少，爲泛差；依前術求之，以減嶽臺夏至晷景常數，即其地其日中晷常數。如夏至前後日數多於距差日，乃減嶽臺夏至常晷，餘即晷在表南也。若夏至前後日多於距差日，即減去距差日，餘依前術求之，各得其地其日中晷常數。（若求定數，依立成以求午中晷景定數。）

求九服所在晝夜漏刻：冬、夏二至各於所在下水漏，以定其地二至夜刻，乃相減，餘爲冬、夏至差刻。置嶽臺其日消息定數，以其地二至差刻乘之，如嶽臺二至差刻二十而一，所得，爲其地其日消息定數。乃倍消息定數，滿刻法約之爲刻，不滿爲分，乃加減其地二至夜刻，（秋分後、春分前，減冬至夜刻；春分後、秋分前，加夏至夜刻。）爲其地其日夜刻；用減一百刻，餘爲晝刻。（其日出入辰刻及距中度五更中星，並依前術求之。）

步月離術

轉度母：八千一百一十二萬。

轉終分：二百九十八億八千二百二十四萬二千二百五十一。

朔差：二十一億四千二百八十八萬七千。

朔差：二十六度。（餘三千三百七十六萬七千，約餘四千一百六十二半。）

轉法：一十億八千四百四十七萬三千。

會周：三百二十億二千五百一十二萬九千二百五十一。

轉終：三百六十八度。（餘三十八萬二千二百五十一，約餘三千七百八。）

轉終：二十七日。（餘六億一百四十七萬一千二百五十一，約餘五千五百四十六。）

中度：一百八十四度。（餘一千五百四萬一千一百二十五半，約餘一千八百五十四。）

象度：九十二度。（餘七百五十二萬五百六十二太，約分九百二十七。）

月平行：十三度。（餘二千九百九十一萬三千，約分三千六百八十七半。）

望差：一百九十七度。（餘三千一百九十二萬四千六百二十五半，約分三千九百三十四。）

弦差：九十八度。（餘五千六百五十二萬二千三百一十二太，約分六千九百六十七。）

日衰：一十八、小分九。

求月行入轉度：以朔差乘所求積月，滿轉終分去之，不盡爲轉餘。滿轉度母除爲度，不滿爲餘，（其餘若以一萬乘之，滿轉度母除之，即得約分；若以轉法除轉餘，即爲入轉日及餘。）即得所求月加時入轉度及餘。（若以弦度及餘累加之，即得上弦、望、下弦及後朔加時入轉度及分；其度若滿轉終度及餘去之。）其入轉度如在中度以下爲月行在疾歷；如在中度以上者，乃減去中度及餘，爲月入遲歷。

求月行遲疾差度及定差：置所求月行入遲速度，如在象度以下爲在初。以上，覆減中度，餘爲在末。（其度餘用約分百爲母。）置初、末度於上，列二百一度九分於下，以上減下，餘以下乘上，爲積數；滿一千九百七十六除爲度，不滿，退除爲分，命曰遲疾差度。（在疾爲減，在遲爲加。）以一萬乘積數，滿六千七百七十三半除之，爲遲疾定差。（疾加、遲減，若用立成者，以其度下損益率乘度餘，滿轉度母而一，所得，隨其損益，即得遲疾及定差。其遲疾、初末損益分爲二日者，各加其初、末以乘除。）

求朔弦望所直度下月行定分：置遲疾所入初、末度分，進一位，滿七百三十九除之，用減一百二十七，餘爲衰差。乃以衰差疾初遲末減、遲初疾末加，皆加減平行度分，爲其度所直月行定分。（其度以百命爲分。）

求朔弦望定日：各以日躔盈縮、月行遲疾定差加減經朔、弦、望小余，滿若不足，進退大餘，命甲子，算外，各得定日日辰及餘。若定朔幹名與後朔幹名同者月大，不同月小，月內無中氣者爲閏月。（凡注歷，觀定朔小余，秋分後四分之三已上者，進一日；若春分後，其定朔晨分差如春分之日者，三約之，以減四分之三；如定朔小余及此數已上者，進一日；朔或當交有食，初虧在日入已前者，其朔不進。弦、望定小余不滿日出分者，退一日；其望或當交有食，初虧在日出已前，其定望小余雖滿日出分者，亦退之。又月行九道遲疾，歷有三大二小；日行盈縮累增損之，則有四大三小，理數然也。若循其常，則當察加時早晚，隨其所近而進退之，使月之大小不過連三。舊說，正月朔有交，必須消息前後一兩月，移食在晦、二之日。且日食當朔，月食當望，蓋自然之理。夫日之食，蓋天之垂誡，警悟時政，若道化得中，則變咎爲祥。國家務以至公理天下，不可私移晦朔，宜順天誡。故《春秋傳》書日食，乃糾正其朔，不可專移食於晦、二。其正月朔有交，一從近典，不可移避。）

求定朔弦望加時日度：置朔、弦、望中日及約分，以日躔盈縮度及分盈加縮減之，又以元法退除遲疾定差，疾加遲減之，餘爲其朔、弦、望加時定日。以天正冬至加時黃道日度加而命之，即所求朔、弦、望加時定日所在宿次。（朔、望有交，則依後術。）

求月行九道：凡合朔所交，冬在陰曆，夏在陽曆，月行青道。（冬至、夏至後，青道半交在春分之宿，當黃道東。立夏、立冬後，青道半交在立春之宿，當黃道東南；至所衝之宿亦如之。）冬在陽曆，夏在陰曆，月行白道。（冬至、夏至後，白道半交在秋分之宿，當黃道西；立冬、立夏後，白道半交在立秋之宿，當黃道西北；至所衝之宿亦如之。）春在陽曆，秋在陰曆，月行朱道。（春分、秋分後，朱道交在夏至之宿，當黃道南；立春、立秋後，朱道半交在立夏之宿，當黃道西南：至所衝之宿亦如之。）春在陰曆，秋在陽曆，月行黑道。（春分、秋分後，黑道半交在冬至之宿，當黃道正北。立春、立秋後，黑道半交在立冬之宿，當黃道東北；至所衝之宿亦如之。）四序離爲八節，至陰陽之所交，皆與黃道相會，故月行九道。各視月所入正交積度，（視正交九道宿度所入節候，即其道、其節所起。）滿象度及分去之餘，（入交積度及象度並在交會術中。）若在半象以下爲在初限。以上，覆減象度及分，爲在末限。用減一百一十一度三十七分，餘以所入初、末限度及分乘之，退位，半之，滿百爲度，不滿爲分，所得爲月行與黃道差數。距半交後、正交前，以差數減；距正交後、半交前，以差數加。（此加減出入六度，單與黃道相較之數，若較之赤道，隨數遷變不常。）計去二至以來度數，乘黃道所差，九十而一，爲月行與黃道差數。凡日以赤道內爲陰，外爲陽；月以黃道內爲陰，外爲陽。故月行宿度，入春分交後行陰曆，秋分交後行陽曆，皆爲同名；若入春分交後行陽曆，秋分交後行陰曆，皆爲異名。其在同名，以差數加者加之，減者減之；其在異名，以差數加者減之，減者加之。皆加減黃道宿積度，爲九道宿積度；以前宿九道宿積度減其宿九道宿積度，餘爲其宿九道宿度及分。（其分就近約爲太、半、少三數。）

求月行九道入交度：置其朔加時定日度，以其朔交初度及分減之，餘爲其朔加時月行入交度及餘。（其餘以一萬乘之，以元法退除之，即爲約餘。）以天正冬至加時黃道日度加而命之，即正交月離所在黃道宿度。

求正交加時月離九道宿度：以正交度及分減一百一十一度三十七分，餘以正交度及分乘之，退一等，半之，滿百爲度，不滿爲分，所得，命曰定差。以定差加黃道宿度，計去冬、夏至以來度數，乘定差，九十而一，所得，依同異名加減之，滿若不足，進退其度，命如前，即正交加時月離九道宿度及分。

求定朔弦望加時月離所在宿度：各置其日加時日躔所在，變從九道，循次相加。凡合朔加時，月行潛在日下，與太陽同度，是爲加時月離宿次。（先置朔、弦、望加時黃道宿度，以正交加時黃道宿度減之，餘以加其正交加時九道宿度，命起正交宿次，算外，即朔、弦、望加時所當九道宿度。其合朔加時若非正近，則日在黃道、月在九道各入宿度，雖多少不同，考其去極，若應繩準。故云月行潛在日下，與太陽同度。）各以弦、望度及分加其所當九道宿度，滿宿次去之，各得加時九道月離宿次。

求定朔夜半入轉：以所求經朔小余減其朔加時入轉日餘，（其經朔小余，以二萬七千八百七乘之，即母轉法。）爲其經朔夜半入轉。若定朔大餘有進退者，亦進退轉日，無進退則因經爲定。（其餘以轉法退收之，即爲約分。）

求次月定朔夜半入轉：因定朔夜半入轉，大月加二日，小月加一日，餘、分皆加四千四百五十四，滿轉終日及約分去之，即次月定朔夜半入轉；累加一日，去命如前，各得逐日夜半入轉日及分。

求定朔弦望夜半月度：各置加時小余，（若非朔、望有交者，有用定朔、弦、望小余。）以其日月行定分乘之，滿元法而一爲度，不滿，退除爲分，命曰加時度。以減其日加時月度，即各得所求夜半月度。

求晨昏月：以晨分乘其日月行定分，元法而一，爲晨度；用減月行定分，餘爲昏度。各以晨昏度加夜半月度，即所求晨昏月所在宿度。

求朔弦望晨昏定程：各以其朔昏定月減上弦昏定月，餘爲朔後昏定程；以上弦昏定月減望昏定月，餘爲上弦後昏定程；以望晨定月減下弦晨定月，餘爲望後晨定程；以下弦晨定月減次朔晨定月，餘爲下弦後晨定程。

求轉積度：計四七日月行定分，以日衰加減之，爲逐日月行定程；乃自所入日計求定之，爲其程轉積度分。（其四七日月行定分者，初日益遲一千二百一十，七日漸疾一千三百四十一，十四日損疾一千四百六十一，二十一日漸遲一千三百二十八，乃觀其遲疾之極差而損益之，以百爲分母。）

求每日晨昏月：以轉積度與晨昏定程相減，餘以距後程日數除之，爲日差。（定程多爲加，定程少爲減。）以加減每日月行定分，爲每日轉定度及分。以每日轉定度及分加朔、弦、望晨昏月，滿九道宿次去之，即爲每日晨、昏月離所在宿度及分。（凡注歷，朔後注昏，望後注晨。）已前月度，並依九道所推，以究算術之精微。若注歷求其速要者，即依後術以推黃道月度。

求天正十一月定朔夜半平行月：以天正經朔小余乘平行度分，元法而一爲度，不滿，退除爲分秒，所得，爲經朔加時度。用減其朔中日，即經朔晨前夜半平行月積度。（若定朔有進退，以平行度分加減之。）即爲天正十一月定朔之日晨前夜半平行月積度及分。

求次月定朔之日夜半平行月：置天正定朔之日夜半平行月，大月加三十五度八十分六十一秒，小月加二十二度四十三分七十三秒半，滿周天度分即去之，即每月定朔之晨前夜半平行月積度及分秒。

求定弦望夜半平行月、計弦、望距定朔日數，以乘平行度及分秒，以加其定朔夜半平行月積度及分秒，即定弦、望之日夜半平行月積度及分秒。（亦可直求朔望，不復求度，從簡易也。）

求天正定朔夜半入轉度：置天正經朔小余，以平行月度及分乘之，滿元法除爲度，不滿，退除爲分秒，命爲加時度；以減天正十一月經朔加時入轉度及約分，餘爲天正十一月經朔夜半入轉度及分。若定朔大餘有進退者，亦進退平行度分，即爲天正十一月定朔之日晨前夜半入轉度及分秒。

求次月定朔及弦望夜半入轉度：因天正十一月定朔夜半入轉度分，大月加三十二度六十九分一十七秒，小月加十九度三十二分二十九秒半，即各得次月定朔夜半入轉度及分。各以朔、弦、望相距日數乘平行度分以加之，滿轉終度及秒即去之，如在中度以下者爲在疾；以上者去之，餘爲入遲歷，即各得次朔、弦、望定日晨前夜半入轉度及分。（若以平行月度及分收之，即爲定朔、弦、望入轉日。）

求定朔弦望夜半定月：以定朔、弦、望夜半入轉度分乘其度損益衰，以一萬約之爲分，百約之爲秒，損益其度下遲疾度，爲遲疾定度。乃以遲加疾減夜半平行月，爲朔、弦、望夜半定月積度。以冬至加時黃道日度加而命之，即定朔、弦、望夜半月離所在宿次。（若有求晨昏月，以其日晨昏分乘其日月行定分，元法而一，所得爲晨昏度；以加其夜半定月，即得朔、弦、望晨昏月度。）

求朔弦望定程：各以朔、弦、望定月相減，餘爲定程。（若求晨昏定程，則用晨昏定月相減，朔後用昏，望後用晨。）

求朔弦望轉積度分：計四七日月行定分，以日衰加減之，爲逐日月行定分；乃自所入日計之，爲其程轉積度分。（其四七日月行定分者，初日益遲一千二百一十，七日漸疾一千三百四十一，十四日損疾一千四百六十一，二十一日漸遲一千三百二十八，乃視其遲疾之極差而損益之，分以百爲母。）

求每日月離宿次：各以其朔、弦、望定程與轉積度相減，餘爲程差。以距後程日數除之，爲日差。（定程多爲益差，定程少爲損差。）以日差加減月行定分。爲每日月行定分；以每日月行定分累加定朔、弦、望夜半月在宿次，命之，即每日晨前夜半月離宿次。（如晨昏宿次，即得每日晨昏月度。）

步交會術

交度母：六百二十四萬。

周天分：二十二億七千九百二十萬四百四十七。

朔差：九百九十萬一千一百五十九。

朔差：一度、餘三百六十六萬一千一百五十九。

望差：空度、餘四百九十五萬五百七十九半。

半周天：一百八十二度。（餘三百九十二萬二百二十三半，約分六千二百八十二。）

日食限：一千四百六十四。

月食限：一千三百三十八。

盈初限縮末限：六十度八十七分半。

縮初限盈末限：一百二十一度七十五分。

求交初度：置所求積月，以朔差乘之，滿周天分去之，不盡，覆減周天分，滿交度母除之爲度，不滿爲餘，即得所求月交初度及餘；以半周天加之，滿周天去之，餘爲交中度及餘。（若以望差減之，即得其月望交初度及餘；以朔差減之，即得次月交初度及餘；以交度母退除，即得餘分。若以天正黃道日度加而命之，即各得交初、中所在宿度及分。）

求日月食甚小余及加時辰刻：以其朔、望月行遲疾定差疾加遲減經朔望小余，（若不足減者，退大餘一，加元法以減之；若加之滿元法者，但積其數。）以一千三百三十七乘之，滿其度所直月行定分除之，爲月行差數；乃以日躔盈定差盈加縮減之，餘爲其朔、望食甚小余。（凡加減滿若不足，進退其日，此朔望加時以究月行遲疾之數，若非有交會，直以經定小余爲定。）置之，如前發斂加時術入之，即各得日、月食甚所在晨刻。（視食甚小余，如半法以下者，覆減半法，餘爲午前分；半法已上者，減去半法，餘爲午後分。）

求朔望加時日月度：以其朔、望加時小余與經朔望小余相減，餘以元法退收之，以加減其朔、望中日及約分，（經朔望少，加；經朔望多，減。）爲其朔、望加時中日。乃以所入日升降分乘所入日約分，以一萬約之，所得，隨以損益其日下盈縮積，爲盈縮定度；以盈加縮減加時中日，爲其朔、望加時定日；望則更加半周天，爲加時定月；以天正冬至加時黃道日度加而命之，即得所求朔、望加時日月所在宿度及分。

求朔望日月加時去交度分：置朔望日月加時定度與交初、交中度相減，餘爲去交度分。（就近者相減之，其度以百通之爲分。）加時度多爲後，少爲前，即得其朔望去交前、後分。（交初後、交中前，爲月行外道陽曆；交中後、交初前，爲月行內道陰曆。）

求日食四正食差定數：置其朔加時定日，如半周天以下者爲在盈。以上者去之，餘爲在縮。視之，如在初限以下者爲在初。以上者，覆減二至限，餘爲在末。置初、末限度及分，（盈初限、縮末限者倍之。）置於上位，列二百四十三度半於下，以上減下，餘以下乘上，以一百六乘之，滿三千九十三除之，爲東西食差泛數。用減五百八，餘爲南北食差泛數。其求南北食差定數者，乃視午前、後分，如四分法之一以下者覆減之，餘以乘泛數。若以上者即去之，餘以乘泛數，皆滿九千七百五十除之，爲南北食差定數。盈初縮末限者，（食甚在卯酉以南，內減外加；食甚在卯酉以北，內加外減。）縮初盈末限者，（食甚在卯酉以南，內加外減；食甚在卯酉以北，內減外加。）其求東西食差定數者，乃視午前、後分，如四分法之一以下者以乘泛數；以上者，覆減半法，餘乘泛數，皆滿九千七百五十除之，爲東西食差定數。盈初縮末限者，（食甚在子午以東，內減外加；食甚在子午以西，內加外減。）縮初盈末限者，（食甚在子午以東，內加外減；食甚在子午以西，內減外加。）即得其朔四正食差加減定數。

求日月食去交定分：視其朔四正食差，加減定數，同名相從，異名相消，餘爲食差加減總數；以加減去交分，餘爲日食去交定分。（其去交定分不足減、乃覆減食差總數、若陽曆覆減入陰曆，爲入食限；若陰曆覆減入陽曆，爲不入食限。凡加之滿食限以上者，亦不入食限。）其望食者，以其望去交分便爲其望月食去交定分。

求日月食分：日食者，視去交定分，如食限三之一以下者倍之，類同陽曆食分。以上者，覆減食限，餘爲陰曆食分。皆進一位，滿九百七十六除爲大分，不滿，退除爲小分，命十爲限，即日食之大、小分。月食者，視去交定分，如食限三之一以下者，食既；以上者，覆減食限。餘進一位，滿八百九十二除之爲大分，不滿，退除爲小分，命十爲限，即月食之大、小分。（其食不滿大分者，雖交而數淺，或不見食也。）

求日食泛用刻分：置陰、陽曆食分於上，列一千九百五十二於下，以上減下，餘以乘上，滿二百七十一除之，爲日食泛用刻、分。

求月食泛用刻分：置去交定分，自相乘，交初以四百五十九除，交中以五百四十除之，所得，交初以減三千九百，交中以減三千三百一十五，餘爲月食泛用刻、分。

求日月食定用刻分：置日月食泛用刻、分，以一千三百三十七乘之，以所直度下月行定分除之，所得爲日月食定用刻、分。

求日月食虧初復滿時刻：以定用刻分減食甚小余，爲虧初小余；加食甚，爲復滿小余；各滿辰法爲辰數，不盡，滿刻法除之爲刻數，不滿爲分。命辰數從子正，算外，即得虧初、復末辰、刻及分。（若以半辰數加之，即命從時初也。）

求日月食初虧復滿方位：其日食在陽曆者，初食西南，甚於正南，復於東南；日在陰曆者，初食西北，甚於正北，復於東北。其食過八分者，皆初食正西，復於正東。其月食者，月在陰曆，初食東南，甚於正南，復於西南；月在陽曆，初食東北，甚於正北，復於西北。其食八分已上者，皆初食正東，復於正西。（此皆審其食甚所向，據午正而論之，其食餘方察其斜正，則初虧、復滿乃可知矣。）

求月食更點定法：倍其望晨分，五而一，爲更法；又五而一，爲點法。（若依司辰星注歷，同內中更點，則倍晨分，減去待旦十刻之分，餘，五而一，爲更法；又五而一，爲點法。）

求月食入更點：各置初虧、食甚、復滿小余，如在晨分以下者加晨分，如在昏分以上者減去昏分，餘以更法除之爲更數，不滿，以點法除之爲點數。其更數命初更，算外，即各得所入更、點。

求月食既內外刻分：置月食去交分，覆減食限三之一，（不及減者爲食不既。）餘列於上位；乃列三之二於下，以上減下，餘以下乘上，以一百七十除之，所得，以定用刻分乘之，滿泛用刻分除之，爲月食既內刻分；用減定用刻分，餘爲既外刻、分。

求日月帶食出入所見分數：視食甚小余在日出分以下者，爲月見食甚、日不見食甚；以日出分減復滿小余，若食甚小余在日出分已上者，爲日見食甚、月不見食甚；以初虧小余減日出分，各爲帶食差；（若月食既者，以既內刻分減帶食差，餘乘所食分，既外刻分而一，不及減者，即帶食既出入也。）以乘所食之分，滿定用刻分而一，即各爲日帶食出、月帶食入所見之分。（凡虧初小余多如日出分爲在晝，復滿小余多如日出分爲在夜，不帶食出入也。）若食甚小余在日入分以下者，爲日見食甚、月不見食甚；以日入分減復滿小余，若食甚小余在日入分已上者，爲月見食甚、日不見食甚；以初虧小余減日入分，各爲帶食差；（若月食既者，以既內刻分減帶食差，餘乘所差分，既外刻分而一，不及減者，即帶食既出入也。）以乘所食之分，滿定用刻分而一，即各爲日帶食入、月帶食出所見之分。（凡虧初小余多如日入分爲在夜，復滿小余少如日入分爲在晝，並不帶食出入也。）

步五星術

木星終率：一千五百五十五萬六千五百四。

終日：三百九十八日。（餘三萬四千五百四，約分八千八百四十七。）

歷差：六萬一千七百五十。

見伏常度：一十四度。

火星終率：三千四十一萬七千五百三十六。

終日：七百七十九日。（餘三萬六千五百三十六，約分九千三百六十八。）

歷差：六萬一千二百四十。

見伏常度：一十八度。

土星終率：一千四百七十四萬五千四百四十六。

終日：三百七十八。（餘三千四百四十六，約分八百八十三。）

歷差：六萬一千三百五十。

見伏常度：一十八度半。

金星終率：二千二百七十七萬二千一百九十六。

終日：五百八十三日。（餘三萬五千一百九十六，約分九千二十四。）

見伏常度：一十一度少。

水星終率：四百五十一萬九千一百八十四。（改九千一百九十四。）

終日：一百一十五日。（餘三萬四千一百八十四，約分八千七百六十五。）

見伏常度：一十八度。

求五星天正冬至後諸段中積中星：置氣積分，各以其星終率去之，不盡，覆減終率，餘滿元法爲日，不滿，退除爲分，即天正冬至後其星平閤中積。重列之爲中星，因命爲前一段之初，以諸段變日、變度累加減之，即爲諸段中星。（變日加減中積，變度加減中星。）

求木火土三星入歷：以其星曆差乘積年，滿周天分去之，不盡，以度母除之爲度，不滿，退除爲分，命曰差度；以減其星平閤中星，即爲平合入歷度分；以其星其段歷度加之，滿周天度分即去之，各得其星其段入歷度分。（金、水附日而行，更不求歷差。其木、火、土三星前變爲晨，後變爲夕。金、水二星前變爲夕，後變爲晨。）

求木火土三星諸段盈縮定差：木、土二星，置其星其段入歷度分，如半周天以下者爲在盈。以上者，減去半周天，餘爲在縮。置盈縮度分，如在一象以下者爲在初限。以上者，覆減半周天，餘爲在末限。置初、末限度及分於上，列半周天於下，以上減下，以下乘上，（木進一位，土九因之。）皆滿百爲分，分滿百爲度，命曰盈縮定差。其火星，置盈縮度分，如在初限以下者爲在初。以上者，覆減半周天，餘爲在末。（以四十五度六十五分半爲盈初、縮末限度，以一百三十六度九十六分半爲縮初、盈末限度分。）置初、末限度於上，（盈初、縮末三因之。）列二百七十三度九十三分於下，以上減下，餘以下乘上，以一十二乘之，滿百爲度，不滿，百約爲分，命曰盈縮定差。（若用立成法，以其度下損益率乘度下約分，滿百者，以損益其度下盈縮差度爲盈縮定差，若在留退段者，即在盈縮泛差。）

求木火土三星留退差：置後退、後留盈縮泛差，各列其星盈縮極度於下，（木極度，八度三十三分；火極度，二十二度五十一分；土極度，七度五十分。）以上減下，餘以下乘上，（水、土三因之，火倍之。）皆滿百爲度，命曰留退差。（後退初半之，後留全用。）其留退差，在盈益減損加、在縮損減益加其段盈縮泛差，爲後退、後留定差。（因爲後遲初段定差，各須類會前留定差，觀其盈縮，察其降差也。）

求五星諸段定積：各置其星其段中積，以其段盈縮定差盈加縮減之，即其星其段定積及分；以天正冬至大餘及約分加之，滿紀法去之，不盡，命甲子，算外，即得日辰。（其五星合見、伏，即爲推算段定日；後求見、伏合定日，即歷注其日。）

求五星諸段所在月日：各置諸段定積，以天正閏日及約分加之，滿朔策及分去之，爲月數；不滿，爲入月以來日數及分。其月數命從天正十一月，算外，即其星其段入其月經朔日數及分。（定朔有進退者，亦進退其日，以日辰爲定。若以氣策及約分去定積，命從冬至，算外，即得其段入氣日及分。）

求五星諸段加時定星：各置其星其段中星，以其段盈縮定差盈加縮減之，即五星諸段定星。若以天正冬至加時黃道日度加而命之，即其段加時定星所在宿次。（五星皆以前留爲前退初定星，後留爲後順初定星。）

求五星諸段初日晨前夜半定星：木、火、土三星，以其星其段盈縮定差與次度下盈縮定差相減，餘爲其度損益差；以乘其段初行率，一百約之，所得，以加減其段初行率，（在盈，益加損減；在縮，益減損加。）以一百乘之，爲初行積分；又置一百分，亦依其數加減之，以除初行積分，爲初日定行分。以乘其段初日約分，以一百約之，順減退加其段定星，爲其段初日晨前夜半定星；以天正冬至加時黃道日度加而命之，即得所求。（金、水二星，直以初行率便爲初日定行分。）

求太陽盈縮度：各置其段定積，如二至限以下爲在盈；以上者去之，餘爲在縮。又視入盈縮度，如一象以下者爲在初；以上者，覆減二至限，餘爲在末。置初、末限度及分，如前日度術求之，即得所求。（若用立成者，直以其度下損益分乘度餘，百約之，所得，損益其度下盈縮差，亦得所求。）

求諸段日度率：以二段日晨相距爲日率，又以二段夜半定星相減，餘爲其段度率及分。

求諸段平行分：各置其段度率及分，以其段日率除之，爲其段平行分。

求諸段泛差：各以其段平行分與後段平行分相減，餘爲泛差；並前段泛差，四因之，退一等，爲其段總差。（五星前留前、後留後一段，皆以六因平行分，退一等，爲其段總差，水星爲半總差。其在退行者，木、火、土以十二乘其段平行分，退一等，爲其段總差。金星退行者，以其段泛差爲總差，後變則反用初、末。水星退行者，以其段平行分爲總差，若在前後順第一段者，乃半次段總差，爲其段總差。）

求諸段初末日行分：各半其段總差，加減其段平行分，爲其段初、末日行分。（前變加爲初，減爲末；後變減爲初，加爲末。其在退段者，前則減爲初，加爲末；後則加爲初，減爲末。若前後段行分多少不倫者，乃平注之；或總差不備大分者，亦平注之：皆類會前後初、末，不可失其衰殺。）

求諸段日差：減其段日率一，以除其段總差，爲其段日差。（後行分少爲損，後行分多爲益。）

求每日晨前夜半星行宿次：置其段初日行分，以日差累損益之，爲每日行分。以每日行分累加減其段初日晨前夜半宿次，命之，即每日星行宿次。

徑求其日宿次：置所求日，減一，以乘日差，以加減初日行分，（後少，減之；後多，加之。）爲所求日行分；乃加初日行分而半之，以所求日數乘之，爲徑求積度；以加減其段初日宿次，命之，即徑求其日星宿次。

求五星定合定日：木、火、土三星，以其段初日行分減一百分，餘以除其日太陽盈縮餘爲日，不滿，退除爲分，命曰距合差日及分。以差日及分減太陽盈縮分，餘爲距合差度。以差日、差度盈減縮加。金、水二星平合者，以百分減初日行分，餘以除其日太陽盈縮餘爲日，不滿，退除爲分，命曰距合差日及分。以減太陽盈縮分，餘爲距合差度。以差日、差度盈加縮減。金、水星再合者，以初日行分加一百分，以除其日太陽盈縮分爲日，不滿，退除爲分，命曰再合差日；以減太陽盈縮分，餘爲再合差度。以差日、差度盈加縮減。（差度則反其加減。）皆以加減定積，爲再合定日。以天正冬至大餘及約分加而命之，即得定合日辰。

求五星定見伏：木、火、土三星，各以其段初日行分減一百分，餘以除其日太陽盈縮分爲日，不滿，退除爲分，以盈減縮加。金、水二星夕見、晨伏者，以一百分減初日行分，餘以除其日太陽盈縮分爲日，不滿，退除爲分，以盈加縮減。其在晨見、夕伏者，以一百分加其段初日行分，以除其日太陽盈縮分爲日，不滿，退除爲分，以盈減縮加。皆加減其段定積，爲見、伏定日。以加冬至大餘及約分，滿紀法去之，命從甲子，算外，即得五星見、伏定日日辰。

琮又論歷曰："古今之歷，必有術過於前人，而可以爲萬世之法者，乃爲勝也。若一行爲《大衍曆》，議及略例，校正歷世，以求曆法強弱，爲歷家體要，得中平之數。劉焯悟日行有盈縮之差。（舊曆推日行平行一度，至此方悟日行有盈縮，冬至前後定日八十八日八十九分，夏至前後定日九十三日七十四分，冬至前後日行一度有餘，夏至前後日行不及一度。）李淳風悟定朔之法，並氣朔、閏餘，皆同一術。（舊曆定朔平注一大一小，至此以日行盈縮、月行遲疾加減朔餘，餘爲定朔、望加時，以定大小，不過三數。自此後日食在朔，月食在望，更無晦、二之差。舊曆皆須用章歲、章月之數，使閏餘有差，淳風造《麟德歷》，以氣朔、閏餘同歸一母。）張子信悟月行有交道表裏，五星有入氣加減。（北齊學士張子信因葛榮亂，隱居海島三十餘年，專以圓儀揆測天道，始悟月行有交道表裏，在表爲外道陽曆，在裏爲內道陰曆。月行在內道，則日有食之，月行在外道則無食。若月外之人北戶向日之地，則反觀有食。又舊曆五星率無盈縮，至是始悟五星皆有盈縮、加減之數。）宋何承天始悟測景以定氣序。（景極長，冬至；景極短，夏至。始立八尺之表，連測十餘年，即知舊《景初歷》冬至常遲天三日。乃造《元嘉歷》，冬至加時比舊退減三日。）晉姜岌始悟以月食所衝之宿，爲日所在之度。（日所在不知宿度，至此以月食之宿所衝，爲日所在宿度。）後漢劉洪作《乾象曆》，始悟月行有遲疾數。（舊曆，月平行十三度十九分度之七，至是始悟月行有遲疾之差，極遲則日行十二度強，極疾則日行十四度太，其遲疾極差五度有餘。）宋祖沖之始悟歲差。（《書·堯典》曰："日短星昴，以正仲冬；宵中星虛，以殷仲秋。"至今三千餘年，中星所差三十餘度，則知每歲有漸差之數，造《大明曆》率四十五年九月而退差一度。）唐徐升作《宣明歷》，悟日食有氣、刻差數。（舊曆推日食皆平求食分，多不允合，至是推日食，以氣刻差數增損之，測日食分數，稍近天驗。）《明天曆》悟日月會合爲朔，所立日法，積年有自然之數，及立法推求晷景，知氣節加時所在。（自《元嘉歷》後所立日法，以四十九分之二十六爲強率、以十七分之九爲弱率，並強弱之數爲日法、朔餘，自後諸歷效之。殊不知日月會合爲朔，並朔餘虛分爲日法，蓋自然之理。其氣節加時，晉、漢以來約而要取，有差半日，今立法推求，得盡其數。）後之造歷者，莫不遵用焉。其疏謬之甚者，即苗守信之《乾元歷》、馬重績之《調元歷》、郭紹之《五紀曆》也。大概無出於此矣。然造歷者，皆須會日月之行，以爲晦朔之數，驗《春秋》日食，以明強弱。其於氣序，則取驗於《傳》之南至。其日行盈縮、月行遲疾、五星加減、二曜食差、日宿月離、中星晷景、立數立法，悉本之於前語。然後較驗，上自夏仲康五年九月"辰弗集於房"，以至於今，其星辰氣朔、日月交食等，使三千年間若應準繩。而有前有後、有親有疏者，即爲中平之數，乃可施於後世。其較驗則依一行、孫思恭，取數多而不以少，得爲親密。較日月交食，若一分二刻以下爲親，二分四刻以下爲近，三分五刻以上爲遠。以歷注有食而天驗無食，或天驗有食而歷注無食者爲失。其較星度，則以差天二度以下爲親，三度以下爲近，四度以上爲遠；其較晷景尺寸，以二分以下爲親，三分以下爲近，四分以上爲遠。若較古而得數多，又近於今，兼立法、立數，得其理而通於本者爲最也。"琮自謂善歷，嘗曰："世之知歷者甚少，近世獨孫思恭爲妙。"而思恭又嘗推劉羲叟爲知歷焉。