清史稿

卷二十一

時憲二

△推步算術

推步新法所用者，曰平三角形，曰弧三角形，曰橢圓形。今撮其大旨，證立法之原，驗用數之實，都爲一十六術，著於篇。

平三角形者，三直線相遇而成。其線爲邊，兩線所夾空處爲角。有正角，當全圓四分之一，如甲乙丙形之甲角。有銳角，不足四分之一，如乙、丙兩角。有鈍角，過四分之一，如丁戊己形之戊角。圖形尚無資料

角之度無論多寡，皆有其相當之八線。曰正弦、正矢、正割、正切，所有度與九十度相減餘度之四線也，如甲乙爲本度，則丙乙爲餘度。正弦乙戊，正矢甲戊，正割庚丁，正切庚甲，餘弦乙己，餘矢丙己，餘割辛丁，餘切辛丙。若壬癸爲本度，則醜癸爲餘度，正弦癸辰，正矢壬辰，餘弦癸卯，餘矢醜卯，餘割子寅，餘切醜寅。以壬癸過九十度無正割、正切，借癸午之子未爲正割，午未爲正切。若正九十度醜壬爲本度，則無餘度，醜子半徑爲正弦，壬子半徑爲正矢，亦無正割、正切，並無餘弦、餘矢、餘割、餘切。

古定全圓周爲三百六十度，四分之一稱一象限，爲九十度。每度六十分，每分六十秒，每秒六十微。圓半徑爲十萬，後改千萬。逐度逐分求其八線，備列於表。推算三角，在九十度內，欲用某度某線，就表取之，算得某線。欲知某度，就表對之。過九十度者，欲用正弦、正割、正切及四餘，以其度與半周相減餘，就表取之。欲用正矢，取餘弦加半徑爲之。既得某線，欲知某度，就表對得其度與半周相減餘命之。

圖形尚無資料

算平三角凡五術：

一曰對邊求對角，以所知邊爲一率，對角正弦爲二率，所知又一邊爲三率，二三相乘，一率除之，求得四率，爲所不知之對角正弦。如圖甲乙爲所知邊，丁角爲所知對角，乙丁爲所知又一邊，甲角爲所不知對角也。此其理系兩次比例省爲一次。如圖乙丁爲半徑之比，乙丙爲丁角正弦之比。法當先以半徑爲一率，丁角正弦爲二率，乙丁爲三率，求得四率中垂線乙丙。既得乙丙，甲乙爲半徑之比，乙丙又爲甲角正弦之比。乃以甲乙爲一率，乙丙爲二率，半徑爲三率，求得四率，自爲甲角正弦。然後合而算之，以先之一率半徑與後之一率甲乙相乘爲共一率，先之二率丁角正弦與後之二率乙丙相乘爲共二率，先之三率乙丁與後之三率半徑相乘爲共三率，求得四率，自爲先之四率乙丙與後之四率甲角正弦相乘數，仍當以乙丙除之，乃得甲角正弦。後既當除，不如先之勿乘。共二率內之乙丙與三率相乘者也，乘除相報，乙丙宜省。又共三率內之半徑與二率相乘者也，共一率內之半徑又主除之，乘除相報，半徑又宜省。故徑以甲乙爲一率，丁角正弦爲二率，乙丁爲三率，求得四率，爲甲角正弦。

二曰對角求對邊，以所知角正弦爲一率，對邊爲二率，所知又一角正弦爲三率，求得四率，爲所不知對邊。此其理具對邊求對角，反觀自明。

三曰兩邊夾一角求不知之二角，以所知角旁兩邊相加爲一率，相減餘爲二率，所知角與半周相減，餘爲外角，半之，取其正切爲三率，求得四率，爲半較角正切。對錶得度，與半外角相加，爲對所知角旁略大邊之角；相減，餘爲對所知角旁略小邊之角。此其理一在平三角形。三角相併，必共成半周。如圖甲乙丙形，中垂線甲丁，分爲兩正角形。正角爲長方之半，長方四角皆正九十度，正角形兩銳角斜剖長方，此角過九十度之半幾何，彼角不足九十度之半亦幾何，一線徑過，其勢然也。故甲右邊分角必與乙角合爲九十度，甲左邊分角必與丙角合爲九十度。論正角形各加丁角，皆成半周，合爲銳角形。除去丁角，三角合亦自爲半周。故既知一角之外，其餘二角雖不知各得幾何度分，必知其共得此角減半周之餘也。一在三角同式形比例。如圖丙庚戊形，知丙庚、丙戊兩邊及丙角。展丙庚爲丙甲，連丙戊爲甲戊，兩邊相加。截丙戊於丙丁，爲戊丁，兩邊相減餘。作庚丁虛線，丙庚、丙丁同長，庚丁向圓內二角必同度，是皆爲丙角之半外角，與甲辛、辛庚之度等。而庚向圓外之角，即本形庚角大於戊角之半，是爲半外角。以庚丁爲半徑之比，則甲庚即爲丁半外角正切之比。半徑與正切恆爲正角，甲庚與庚丁圓內作兩通弦，亦無不成正角故也。又作丁己線，與甲庚平行，庚丁仍爲半徑之比，丁己又爲庚向圓外半較角正切之比。而戊甲庚大形與戊丁己小形，戊甲、戊丁既在一線，甲庚、丁己又系平行，自然同式。故甲戊兩邊相加爲一率，戊丁兩邊相減餘爲二率，甲庚半外角正切爲三率，求得四率，自當丁己半較角正切也。

四曰兩角夾一邊求不知之一角，以所知兩角相併，與半周相減，餘即得。此其理具兩邊夾一角。

五曰三邊求角，以大邊爲底，中、小二邊相併相減，兩數相乘，大邊除之，得數與大邊相加折半爲分底大邊，相減餘折半爲分底小邊。乃以中邊爲一率，分底大邊爲二率，半徑爲三率，求得四率，爲對小邊角餘弦。或以小邊爲一率，分底小邊爲二率，半徑爲三率，求得四率，爲對中邊角餘弦。此其理在勾股弦冪相求及兩方冪相較。如圖甲丙中邊、甲乙小邊皆爲弦，乙丙大邊由丁分之，丁丙、丁乙皆爲勾，中垂線甲丁爲股。勾股冪相併恆爲弦冪，今甲丁股既兩形所同，則甲丙大弦冪多於甲乙小弦冪，即同丙丁大勾冪多於乙丁小勾冪。又兩方冪相較，恆如兩方根和較相乘之數。如圖戊寅壬庚爲大方冪，減去己卯辛庚小方冪，餘戊己卯辛壬寅曲矩形。移卯癸壬辛爲癸寅醜子，成一直方形，其長戊醜，自爲大方根戊寅、小方根卯辛之和；其闊戊己，自爲大方根戊庚、小方根己庚之較。故甲乙丙形，甲丙、甲乙相加爲和，相減爲較。兩數相乘，即如丙丁、丁乙和較相乘之數。丙乙除之，自得其較。丙午相加相減各折半，自得丙丁及乙丁，既得丙丁、乙丁，各以丙甲、乙甲爲半徑之比，丙丁、乙丁自爲餘弦之比矣。

此五術者，有四不待算，一不可算。對邊求對角，令所知兩邊相等，則所求角與所知角必相等。對角求對邊，令所知兩角相等，則所求邊與所知邊必相等。兩邊夾一角，令所知兩邊相等，則所求二角必正得所知外角之半。三邊求角，令二邊相等，即分不等者之半爲底邊；三邊相等，即平分半週三角皆六十度，皆不待算也。若對邊求對角，所知一邊數少，對所知一角銳；又所知一邊數多，求所對之角，不能知其爲銳、爲鈍，是不可算也。諸題求邊角未盡者，互按得之。

弧三角形者，三圓周相遇而成，其邊亦以度計。九十度爲足，少於九十度爲小，過九十度爲大。其角銳、鈍、正與平三角等。算術有七：

一曰對邊求對角，以所知邊正弦爲一率，對角正弦爲二率，所知又一邊正弦爲三率，求得四率，爲所求對角正弦。此其理亦系兩次比例省爲一次。如圖甲乙丙形，知甲乙、丙乙二邊及丙角，求甲角。作乙辛垂弧，半徑與丙角正弦之比，同於乙丙正弦與乙辛正弦之比。法當以半徑爲一率，丙角正弦爲二率，乙丙正弦爲三率，求得四率，爲乙辛正弦。既得乙辛正弦，甲乙正弦與乙辛正弦之比，同於半徑與甲角正弦之比。乃以甲乙正弦爲一率，乙辛正弦爲二率，半徑爲三率，求得四率，爲甲角正弦。然乘除相報，可省省之。

二曰對角求對邊，以所知角正弦爲一率，對邊正弦爲二率，所知又一角正弦爲三率，求得四率，爲所求對邊正弦。此其理反觀自明。

三曰兩邊夾一角，或銳或鈍，求不知之一邊。以半徑爲一率，所知角餘弦爲二率，任以所知一邊正切爲三率，求得四率，命爲正切。對錶得度，與所知又一邊相減，餘爲分邊。乃以前得度餘弦爲一率，先用邊餘弦爲二率，分邊餘弦爲三率，求得四率，爲不知之邊餘弦。原角鈍，分邊大，此邊小；分邊小，此邊大。原角銳，分邊小，此邊小；分邊大，此邊大。此其理系三次比例省爲二次。如圖甲丙丁形，知甲丙、甲丁二邊及甲角，中作垂弧丙乙，半徑與甲角餘弦之比，同於甲丙正切與甲乙正切之比。先一算爲易明。既分甲丁於乙，而得丁乙分邊，甲乙餘弦與半徑之比，同於甲丙餘弦與丙乙餘弦之比。法當先以甲乙餘弦爲一率，半徑爲二率，甲丙餘弦爲三率，求得四率，爲丙乙餘弦。既得丙乙餘弦，半徑與乙丁餘弦之比，同於丙乙餘弦與丁丙餘弦之比。乃以半徑爲一率，乙丁餘弦爲二率，丙乙餘弦爲三率，求得四率，爲丁丙餘弦。然而乘除相報，故從省。兩邊夾一角若正，則徑以所知兩邊餘弦相乘半徑除之，即得不知邊之餘弦，理自明也。所知兩邊俱大俱小，此邊小；所知兩邊一小一大，此邊大。

四曰兩角夾一邊，求不知之一角。以角爲邊，以邊爲角，反求之；得度，反取之；求、取皆與半周相減。

五曰所知兩邊對所知兩角，或銳、或鈍，求不知之邊角。以半徑爲一率，任以所知一角之餘弦爲二率，對所知又一角之邊正切爲三率，求得四率，命爲正切，對錶得度。復以所知又一角、一邊如法求之，復得度。視原所知兩角銳、鈍相同，則兩得度相加；不同，則兩得度相減；皆加減爲不知之邊。乃按第一術對邊求對角，即得不知之角。原又一角鈍，對先用角之邊大於後得度，此角鈍；對先用角之邊小於後得度，此角銳。原又一角銳，對先用角之邊小於後得度，此角鈍；對先用角之邊大於後得度，此角銳。此其理系垂弧在形內與在形外之不同，及角分銳鈍，邊殊大小，前後左右俯仰向背之相應。如圖甲乙丙形，甲乙二角俱銳，兩銳相向，故垂弧丙丁，從中取正，而在形內。己丙庚形，己庚二角俱鈍，兩鈍相向，故垂弧戊丙亦在形內。庚丙乙形，庚乙兩角，一銳一鈍相違，垂弧丙丁，從外補正，自在形外。在形內者判底邊爲二，兩得分邊之度，如乙丁、丁甲，合而成一底邊如乙甲，故宜相加。在形外者，引底邊之餘，兩得分邊之度，如庚丁、乙丁，重而不揜，底邊如庚乙，故宜相減。銳鈍大小之相應，亦如右圖審之。所知兩邊對所知兩角有一正，則一得度即爲不知之邊，理亦自明。

六曰三邊求角，以所求角旁兩邊正弦相乘爲一率，半徑自乘爲二率，兩邊相減餘爲較弧，取其正矢與對邊之正矢相減餘爲三率，求得四率，爲所求角正矢。此其理在兩次比例省爲一次。如圖甲壬乙形，求甲角，其正矢爲醜丁。法當以甲乙邊正弦乙丙爲一率，半徑乙己爲二率，兩邊較弧正矢乙癸與對邊正矢乙卯相減餘癸卯同辛子爲三率，求得四率爲壬辛。乃以甲壬邊正弦戊辛爲一率，壬辛爲二率，半徑己丁爲三率，求得四率爲醜丁。甲角正矢亦以乘除相報，故從省焉。

七曰三角或銳、或鈍求邊，以角爲邊，反求其角；既得角，復取爲邊；求、取皆與半周相減。此其理在次形，如圖甲乙丙形，甲角之度爲丁戊，與半周相減爲戊己，其度必同於次形子辛午之子辛邊，蓋醜卯爲乙之角度醜點之交，甲乙弧必爲正角，丁戊爲甲之角度戊點之交，甲乙弧亦必爲正角。以一甲乙而交醜辛、戊辛二弧皆成正角，則二弧必皆九十度，弧三角之勢如此也。戊辛既九十度，子己亦九十度，去相覆之戊子，己戊自同子辛，於是庚癸必同子午，卯未必同午辛，理皆如是矣。而此形之餘角既皆爲彼形之邊，彼形餘角不得不爲此形之邊，故反取之而得焉。若三角有一正，除正角外，以一角之正弦爲一率，又一角之餘弦爲二率，半徑爲三率，求得四率，爲對又一角之邊餘弦。此其理亦系次形，而以正角及一角爲次形之角，以又一角加減象限爲次形對角之邊，取象稍異。

凡茲七術，惟邊角相求，有銳鈍、大小不能定者，然推步無其題，不備列。此七題中求邊角有未盡者，互按得之。

橢圓形者，兩端徑長、兩腰徑短之圓面。然必其應規，乃可推算。作之之術，任以兩點各爲心，一點爲界，各用一針釘之，圍以絲線，末以鉛筆代爲界之。針引而旋轉，即成橢圓形。如圖甲己午三點，如法作之，爲醜午巳未橢圓，寅醜、寅巳爲大半徑，寅午、寅未爲小半徑，寅甲爲兩心差，己甲爲倍兩心差。甲午數如寅巳，亦同寅醜，己午如之；二數相和，恆與醜巳同。令午針引至申，甲申、申己長短雖殊，共數不易。甲午同大半徑之數如弦，兩心差如勾，小半徑如股，但知兩數，即可以勾股術得不知之一數。若求面積，以平方面率四００００００００爲一率，平圓面率三一四一五九二六五爲二率，大小徑相乘成長方面爲三率，求得四率爲橢圓面積。若求中率半徑，大小半徑相乘，平方開之即得。然自甲心出線，離醜右旋，如圖至戌，甲醜、甲戌之間，有所割之面積，亦有所當之角度。

角積相求，爰有四術：

一曰以角求積，以半徑爲一率，所知角度正弦爲二率，倍兩心差爲三率，求得四率爲倍兩心差之端，垂線如己酉。又以半徑爲一率，所知角度餘弦爲二率，倍兩心差爲三率，求得四率爲界度積線，引出之線如甲酉，倍兩心差之端垂線爲勾自乘。以引出之線，與甲戌、己戌和如巳醜大徑者相加爲股弦和，除之得較。和、較相加折半爲己戌弦，與大徑相減爲甲戌線。又以半徑爲一率，所知角正弦爲二率，甲戌線爲三率，求得四率爲戌亥邊。又以小徑爲一率，大徑爲二率，戌亥邊爲三率，求得四率爲辰亥邊。又以大半徑寅辰同寅醜爲一率，半徑爲二率，辰亥邊爲三率，求得四率爲正弦，對錶得度。又以半周天一百八十度化秒爲一率，半圓周三一四一五九二六爲二率，所得度化秒爲三率，求得四率爲比例弧線。又以半徑爲一率，大半徑爲二率，比例弧線爲三率，求得四率爲辰醜弧線，與大半徑相乘折半，爲寅辰醜分平圓面積。又以大半徑爲一率，小半徑爲二率，分平圓面積爲三率，求得四率爲寅戌醜分橢圓面積。乃以寅甲兩心差與戌亥邊相乘折半，與寅戌醜相減，爲甲戌、甲醜之間所割面積。此其理具本圖及平三角、弧三角，其法至密。

二曰以積求角，以兩心差減大半徑餘得甲醜線自乘爲一率，中率半徑自乘爲二率，甲戌、甲醜之間面積爲三率，求得四率爲中率面積，如甲氐亢。分橢圓面積爲三百六十度，取一度之面積爲法除之，即得甲戌、甲醜之間所夾角度，此其理爲同式形比例。然甲亢與甲氐同長，甲戌則長於甲醜，以所差不多，借爲同數。若引戌至心，甲醜甲心所差實多，仍須用前法求甲戌線，借甲戌甲心相近爲同數求之。

三曰借積求積，以所知面積，如圖之辛甲醜，用一度之面積爲法除之，得面積之度。設其度爲角度，於倍兩心差之端如庚己丑。以半徑爲一率，己角正弦爲二率，倍兩心差爲三率，求得四率爲甲子垂線。又以半徑爲一率，己角餘弦爲二率，倍兩心差爲三率，求得四率爲己子分邊。甲子爲勾自乘，己子與大徑相減餘爲股弦和，除之得股弦較。和、較相加折半得甲庚線。又以甲庚線爲一率，甲子垂線爲二率，半徑爲三率，求得四率爲庚角正弦，得度與己角相加爲庚甲丑角。乃用以角求積法，求得庚甲醜面積，與辛甲醜面積相減餘如庚甲辛，又用以積求角法，求得度，與庚甲丑角相加，即得辛甲丑角。

四曰借角求角，以所知面積如前法取爲積度，如醜甲丁。設其度爲角度，於橢圓心如丁乙辛。以小半徑爲一率，大半徑爲二率，所設角度正切爲三率，求得四率爲丁乙癸角正切。對錶得度，乃於倍兩心差之端丙作丙醜線，即命醜丙甲角如癸乙丁之角度，乃將丙醜線引長至寅，使醜寅與甲醜等，則丙寅同大徑。又作甲寅線，成甲寅丙三角形，用切線分外角法求得寅角，倍之爲甲丙醜形之丑角，與丙角相加爲醜甲丁角。此其理癸乙甲角度多於醜甲丁積度，爲子乙癸角度。即以此度當前之補算辛甲庚者，蓋所差無多也。

此四術內凡單言半徑者，皆八線表一千萬之數。圖形尚無資料