元史

卷十

◎歷六

○庚午元歷下

步交會術

交終分，一十四萬二千三百一十九，秒九千三百六，微二十。

交終日，二十七，餘一千一百九，秒九千三百六，微二十。

交中日，一十三，餘三千一百六十九，秒四千六百五十三，微一十。

交朔日，二，餘一千六百六十五，秒六百九十三，微八十。

交望日，一十四，餘四千二，秒五千。

秒母，一萬。

微母，一百。

交終度，三百六十三，分七十九，秒三十六。

交中度，一百八十一，分八十九，秒六十八。

交象度，九十，分九十四，秒八十四。

半交象度，四十五，分四十七，秒四十二。

日食既前限，二千四百。定法，二百四十八。

日食既後限，三千一百。定法，三百二十。

月食限，五千一百。

月食既限，一千七百。定法，三百四十。

分秒母，皆一百。

求朔望入交（先置裏差，半之，如九而一，所得依其加減天正朔積分，然後求之。）

置天正朔積分，以交終分去之，不盡，如日法而一，爲日，不滿爲餘，即得天正十一月中朔入交泛日及餘秒。（便爲中朔加時入交泛日及餘。）交朔加之，得次朔；交望加之，得望；再加交望，亦得次朔；各爲朔望入交泛日及餘秒。（凡稱餘秒者，微亦從之，餘仿此。）

【求定朔及每日夜半入交】

各置入交泛日及餘秒，減去中朔望小余，即爲定朔望夜半入交泛日及餘秒。若定朔望有進退者，亦進退交日，否則因中爲定，大月加二日，小月加一日，餘皆加四千一百二十，秒六百九十三，微八十，即次朔夜半入交；累加一日，滿交終日及餘秒，去之，即每日夜半入交泛日及餘秒。

【求定朔望加時入交】

置中朔望加時入交泛日及餘秒，以入氣入轉朓朒定數朓減朒加之，即得定朔望加時入交泛日及餘秒。

【求定朔望加時入交積度及陰陽曆】

置定朔望加時入交泛日，以日法通之，內餘進二位，如三萬九千一百二十一而一，爲度，不滿，退除爲分秒，即得定朔望加時月行入交積度；以定朔望加時入轉遲疾度遲減疾加之，即爲月行入定交積度；如交中度以下，爲入陽曆積度，以上，去之，爲入陰曆積度。（每日夜半准此求之。）

【求月去黃道度】

視月入陰陽曆積度及分，交象以下，爲少象；以上，覆減交中，餘爲老象。置所入老少象度於上位，列交象度於下，相減，相乘，倍之，退位爲分，分滿百爲度，用減所入老少象度及分；餘，又與交中度相減、相乘，八因之，以一百一十除之，爲分，分滿百爲度，即得月去黃道度及分。

【求朔望加時入交常日及定日】

置朔望入交泛日，以入氣朓朒定數朓減朒加，爲入交常日。又置入轉朓朒定數，進一位，以一百二十七而一，所得，朓減朒加交常日，爲入交定日及餘秒。

【求入交陰陽曆交前後分】

視入交定日，如交中以下，爲陽曆；以上，去之，爲陰曆。如一日上下，以日法通日內分，內餘爲交後分；十三日上下，覆減交中日，餘爲交前分。

【求日月食甚定餘】

置朔望入氣入轉朓朒定數，同名相從，異名相消，以一千三百三十七乘之，以定朔望加時入轉算外轉定分除之，所得，以朓減朒加中朔望小余，爲泛餘。日食，視泛餘，如半法以下，爲中前，半法以上，去之，爲中後。置中前後分，與半法相減、相乘，倍之，萬約爲分，曰時差。中前以時差減泛餘，爲定餘；覆減半法，餘爲午前分；中後以時差加泛餘，爲定餘；減去半法，餘爲午後分。月食，視泛餘，在日入後夜半前，如日法四分之三以下，減去半法，爲酉前分；四分之三以上，覆減日法，餘爲酉後分。又視泛餘，在夜半後日出前者，如日法四分之一以下，爲卯前分；四分之一以上，覆減半法，餘爲卯後分。其卯酉前後分，自相乘，四因，退位，萬約爲分，以加泛餘，爲定餘。各置定餘，以發斂加時法求之，即得日月食甚辰刻及分秒。

【求日月食甚日行積度】

置定朔望食甚大小余，與中朔望大小余相減之，餘以加減中朔望入氣日餘，（以中朔望少加多減。）即爲食甚入氣；以加其氣中積，爲食甚中積。又置食甚入氣餘，以所入氣日損益率（盈縮之損益。）乘之，如日法而一，以損益其日盈縮積，盈加縮減食甚中積，即爲食甚日行積度及分。先以食甚中積經分爲約分，然後加減之，餘類此者，依而求之。

【求氣差】

置日食食甚日行積度及分，滿中限去之，餘在象限以下，爲初限；以上，覆減中限，爲末限；皆自相乘，進二位，以四百七十八而一，所得，用減一千七百四十四，餘爲氣差恆數；以午前後分乘之，半晝分除之，所得，以減恆數，爲定數。（如不及減者，覆減爲定數，應加者減之，應減者加之。）春分後，陽曆減陰曆加；秋分後，陽曆加陰曆減。（春分前秋分後，各二日二千一百分爲定氣，於此宜加減之。）

【求刻差】

置日食食甚日行積度及分，滿中限去之，餘與中限相減、相乘，進二位，如四百七十八而一，所得，爲刻差恆數；以午前後分乘之，日法四分之一除，所得，爲定數。（若在恆數以上者，倍恆數，以所得之數減之，爲定數，依其加減。）冬至後，午前陽加陰減，午後陽減陰加；夏至後，午前陽減陰加，午後陽加陰減。

【求日食去交前後定分】

置氣刻二差定數，同名相從，異名相消，爲食差；依其加減去交前後分，爲去交前後定分。視其前後定分，如在陽曆，即不食；如在陰曆，即有食之。如交前陰曆不及減，反減之，（反減食差。）爲交後陽曆；交後陰曆不及減，反減之，爲交前陽曆；即不食。交前陽曆不及減，反減之，爲交後陰曆；交後陽曆不及減，反減之，爲交前陰曆；即日有食之。

【求日食分】

視去交前後定分，如二千四百以下，爲既前分；以二百四十八除，爲大分；二千四百以上，覆減五千五百，（不足減者不食。）爲既後分；以三百二十除，爲大分，不盡，退除爲秒。（其一分以下者，涉交太淺，太陽光盛，或不見食。）

【求月食分】

視去交前後分，（不用氣刻差者。）一千七百以下者，食既；以上，覆減五千一百，（不足減者不食。）餘以三百四十除之，爲大分；不盡，退除爲秒，即月食之分秒。去交分在既限以下，覆減既限，亦以三百四十除之，爲既內之大分。

【求日食定用分】

置日食之大分，與二十分相減、相乘，又以二千四百五十乘之，如定朔入轉算外轉定分而一，所得，爲定用分；減定餘，爲初虧分；加定餘，爲復圓分；各以發斂加時法求之，即得日食三限辰刻也。

【求月食定用分】

置月食之大分，與三十五分相減、相乘，又以二千一百乘之，如定望入轉算外轉定分而一，所得，爲定用分；加減定餘，爲初虧復圓分。各如發斂加時法求之，即得月食三限辰刻。

月食既者，以既內大分，以一十五分相減相乘，又以四千二百乘之，如定望入轉算外轉定分而一，所得爲既內分；用減定用分，爲既外分。置月食定餘，減定用分，爲初虧分；因加既外分，爲食既分；又加既內分，爲食甚分；（即定餘分是也。）再加既內分，爲生光分；復加既外分，爲復圓分。各以發斂加時法求之，即得月食五限辰刻及分。（如月食既者，以十分並既內大分，如其法而求其定用分也。）

【求月食所入更點】

置食甚所入日晨分，倍之，五約之，爲更法；又五約之，爲點法。乃置月食初末諸分，昏分以上者，減昏分；晨分以下者，加晨分；如不滿更法，爲初更；不滿點法，爲一點。依法以次求之，即得更點之數。

【求日食所起】

食在既前，初起西南，甚於正南，復於東南。食在既後，初起西北，甚於正北，復於東北。其食八分以上者，皆起正西，復正東。（此據正午地而論之。）

【求月食所起】

月在陽曆，初起東北，甚於正北，復於西北。月在陰曆，初起東南，甚於正南，復於西南。其食八分以上，皆起正東，復正西。（此亦據正午地而論之。）

求日月出入帶食所見分數

各以食甚小余，與日出入分相減，餘爲帶食差；以乘所食之分，滿定用分而一，（月食既者，以既內分減帶食差，餘乘所食分，如既外分而一，不及減者，爲帶食既出入。）以減所食分，即日月出入帶食所見之分。（其食甚在晝，晨爲漸進，昏爲已退；食甚在夜，晨爲已退，昏爲漸進也。）

【求日月食甚宿次】

置日月食甚日行積度，（望即更加望度。）以天正冬至加時黃道日度加而命之，依黃道宿次去之，即各得日月食甚宿度及分秒。

步五星術

△木星

周率，二百八萬六千一百四十二，秒九。

歷率，二千二百六十五萬五百五十七。

歷度法，六萬二千一十四。

週日，三百九十八日八十八分。

歷度，三百六十五度二十四分九十秒。

歷中，一百八十二度六十二分四十五秒。

歷策，一十五度二十一分八十七秒。

伏見，一十三度。

（以下表格略）

火星

周率，四百七萬九千四十二，秒一十四半。

歷率，三百五十九萬二千七百五十七，秒四十四少。

歷度法，九千八百三十六半。

週日，七百七十九日九十三分一十六秒。

歷度，三百六十五度二十四分七十五秒。

歷中，一百八十二度六十二分三十七秒半。

歷策，一十五度二十一分八十六秒。

伏見，一十九度。

（以下表格略）

土星

周率，一百九十七萬七千四百一十一，秒六十九。

歷率，五千六百二十二萬三千二百四十八半。

歷度法，一十五萬三千九百二十八。

週日，三百七十八日九分二秒。

歷度，三百六十五度二十五分六十八秒。

歷中，一百八十二度六十二分八十四秒。

歷策，一十五度二十一分九十秒。

伏見，一十七度。

（以下表格略）

金星

周率，三百五萬三千八百四，秒六十三太。

歷率，一百九十一萬二百四十，秒七十六半。

歷度法，五千二百三十。

週日，五百八十三日九十分一十四秒。

合日，二百九十一日九十五分七秒。

歷度，三百六十五度二十四分六十八秒。

歷中，一百八十二度六十二分三十四秒。

歷策，一十五度二十一分八十六秒。

伏見，一十度半。

（以下表格略）

水星

周率，六十萬六千三十一，秒七十七半。

歷率，一百九十一萬二百四十二，秒一十三半。

歷度法，五千二百三十。

週日，一百一十五日八十七分六十秒。

合日，五十七日九十三分八十秒。

歷度，三百六十五度二十四分七十秒。

歷中，一百八十二度六十二分三十五秒。

歷策，一十五度二十一分八十五秒。

晨伏夕見，一十四度。

夕伏晨見，一十九度。

（以下表格略）

【求五星天正冬至後平合及諸段中積中星】

置通積分，（先以裏差加減之。）各以其星周率去之，不盡，爲前合分；覆減周率，餘爲後合分；如日法而一，不滿，退除爲分秒，即得其星天正冬至後平閤中積中星。（命爲日，曰中積；命爲度，曰中星。）以段日累加中積，即爲諸段中積；以平度累加中星，經退則減之，即爲諸段中星。

【求五星平合及諸段入歷】

置通積分，各加其星後合分，以歷率去之，不盡，各以其歷度法除爲度，不滿，退除爲分秒，即爲其星平合入歷度及分秒；以諸段限度累加之，即得諸段入歷度及分秒。

【求五星平合及諸段盈縮定差】

各置其星段入歷度及分秒，如在歷中以下，爲盈；以上，減去歷中，餘爲縮。以其星曆策除之，爲策數；不盡，爲入策度及分。命策數算外，以其策損益率乘之，餘歷策而一，爲分，以損益其下盈縮積度，即爲其星段盈縮定差。

【求五星平合及諸段定積】

各置其星段中積，以其段盈縮定差盈加縮減之，即得其段定積日及分；加天正冬至大餘及約分，滿紀法，去之，不滿，命壬戌算外，即得日辰也。

【求五星平合及諸段所在月日】

各置其段定積，以加天正閏日及約分，以朔策及約分除之，爲月數；不盡，爲入月以來日數及分。其月數，命天正十一月算外，即得其段入月中朔日數及分；乃以日辰相距，爲所在定朔月日。

【求五星平合及諸段加時定星】

各置中星，以盈縮定差盈加縮減，（金星倍之，水星三之，然後加減。）即爲五星諸段定星；以加天正冬至加時黃道日度，依宿次命之，即其星其段加時所在宿度及分秒。

【求五星諸段初日晨前夜半定星】

各以其段初行率，乘其段定積日下加時分，百約之，乃順減退加其日加時定星，即其段初日晨前夜半定星所在宿度及分秒。

【求諸段日率度率】

各以其段日辰，距後段日辰爲日率。以其段夜半宿次，與後段夜半宿次相減，餘爲度率。

【求諸段平行分】

各置其段度率及分秒，以其段日率除之，即得其段平行度日及分秒。

【求諸段總差及日差】

本段前後平行分相減，爲其段泛差；（假令求木星次疾泛差，乃以順疾順遲平行分相減，餘爲次疾泛差，他皆仿此。）倍而退位，爲增減差；加減其段平行分，爲初末日行分；（前多後少者，加爲初，減爲末；前少後多者，減爲初，加爲末。）倍增減差，爲總差；以日率減一除之，爲日差。

【求前後伏遲退段增減差】

前伏者，置後段初日行分，加其日差之半，爲末日行分；後伏者，置前段末日行分，加其日差之半，爲初日行分；以減伏段平行分，餘爲增減差。前遲者，置前段末日行分，倍其日差減之，爲初日行分；後遲者，置後段初日行分，倍其日差減之，爲末日行分；以遲段平行分減之，餘爲增減差。（前後近留遲段。）木火土三星，退行者，六因平行分，退一位，爲增減差。金星，前後伏退者，三因平行分，半而退位，爲增減差。前退者，置後段初日之行分，以其日差減之，爲末日行分。後退者，置前段末日之行分，以其日差減之，爲初日行分；以本段平行分減之，餘爲增減差。水星，平行分爲增減差，皆以增減差加減平行分，爲初末日行分。（前多後少，加初減末；前少後多，減初加末。）又倍增減差爲總差，以日率減一，除之，爲日差。

【求每日晨前夜半星行宿次】

各置其段初日行分，以日差累損益之，（後少則損之，後多則益之。）爲每日行度及分秒；乃順加退減之，滿宿次去之，即得每日晨前夜半星行宿次。（視前段末日後段初日行分相較之數，不過一二日差爲妙；或多日差數倍，或顛倒不倫，當類同前後增減差稍損益之，使其有倫，然後用之。或前後平行分俱多俱少，則平注之；或總差之秒不盈一分，亦平注之；若有不倫而平注得倫者，亦平注之。）

【求五星平合及見伏入氣】

置定積，以氣策及約分除之，爲氣數；不滿，爲入氣日及分秒；命天正冬至算外，即得所求平合及見伏入氣日及分秒。

【求五星平合及見伏行差】

各以其段初日星行分與太陽行分相減，餘爲行差。若金在退行、水在退合者，相併爲行差。如水星夕伏晨見者，直以太陽行分爲行差。

【求五星定合及見伏泛積】

木火土三星，各以平合晨疾夕伏定積，爲定合定見定伏泛積。金水二星，置其段盈縮定差，（水星倍之。）各以行差除之，爲日，不滿，退除爲分秒；若在平合夕見晨伏者，盈減縮加；如在退合夕伏晨見，盈加縮減；皆以加減定積爲定合定見定伏泛積。

【求五星定合定積定星】

木火土三星，各以平合行差除其日太陽盈縮差，爲距合差日；以太陽盈縮差減之，爲距合差度；日在盈縮，以差日差度減之；在縮歷，加之；加減其星定合泛積，爲定合定積定星。金水二星，順合退合，各以平合退合行差，除其日太陽盈縮差，爲距合差日；順加退減太陽盈縮差，爲距合差度；順在盈歷，以差日差度加之；在縮歷，減之；退在盈歷，以差日減之，差度加之；在縮歷，以差日加之，差度減之；皆以加減其定星定合再定合泛積，爲定合再定合定積定星；以冬至大餘及約分加定積，滿紀法，去之，命得定合日辰；以冬至加時黃道日度加定星，滿宿次，去之，即得定合所在宿次。（其順退所在盈縮，即太陽盈縮。）

【求木火土三星定見伏定日】

各置其星定見伏泛積，晨加夕減象限日及分秒；（半中限爲象限。）如中限以下，自相乘；以上，覆減歲週日及分秒，餘亦自相乘；滿七十五而一，所得，以其星伏見度乘之，一十五除之，爲差。其差，如其段行差而一，爲日，不滿，退除爲分秒；見加伏減泛積，爲定積；加命如前，即得日辰。

【求金水二星定見伏定日】

各以伏見日行差，除其日太陽盈縮差，爲日。若晨伏夕見，日在盈歷，加之；在縮歷，減之；如夕伏晨見，日在盈縮，減之，在縮歷，加之；加減其星泛積，爲常積。視常積，如中限以下，爲冬至後；以上，去之，餘爲夏至後。其二至後，如象限以下，自相乘；以上，覆減中限，餘亦自相乘；各如法而一爲分，（冬至後晨，夏至後夕，以一十八爲法；冬至後夕，夏至後晨，以七十五爲法。）以伏見度乘之，一十五除之，爲差。其差，滿行差而一，爲日，不滿，退除爲分秒；加減常積，爲定積；（冬至後，晨見夕伏，加之；夕見晨伏，減之。夏至後，晨見夕伏，減之；夕見晨伏，加之。）加命如前，即得定見伏日辰。

其水星，夕疾在大暑氣初日至立冬氣九日三十五分以下者，不見；晨留在大寒氣初日至立夏氣九日三十五分以下者，不見。春不晨見，秋不夕見者，亦舊曆有之。