九章算術

序

昔在庖犠氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之數，以合六爻之變。暨於黃帝神而化之，引而伸之，於是建曆紀，協律呂，用稽道原，然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。記稱隸首作數，其詳未之聞也。按周公制禮而有九數，九數之流，則《九章》是矣。往者暴秦焚書，經術散壞。自時厥後，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補。故校其目則與古或異，而所論者多近語也。徽幼習《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，採其所見，爲之作注。事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本榦知，發其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。且算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子；雖曰九數，其能窮纖入微，探測無方；至於以法相傳，亦猶規矩度量可得而共，非特難爲也。當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜於此耳。《周官·大司徒》職，夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸，謂之地中。說雲，南戴日下萬五千裏。夫云爾者，以術推之。案：《九章》立四表望遠及因木望山之術，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。然則蒼等爲術猶未足以博盡羣數也。徽尋九數有重差之名，原其指趣乃所以施於此也。凡望極高、測絕深而兼知其遠者必用重差、句股，則必以重差爲率，故曰重差也。立兩表於洛陽之城，令高八尺，南北各盡平地。同日度其正中之時。以景差爲法，表高乘表間爲實，實如法而一。所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間爲實，實如法而一，即爲從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地爲句、股，爲之求弦，即日去人也。以徑寸之筒南望日，日滿筒空，則定筒之長短以爲股率，以筒徑爲句率，日去人之數爲大股，大股之句即日徑也。雖夫圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉。徽以爲今之史籍且略舉天地之物，考論厥數，載之於志，以闡世術之美，輒造《重差》，併爲註解，以究古人之意，綴於句股之下。度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。觸類而長之，則雖幽遐詭伏，靡所不入，博物君子，詳而覽焉。