九章算術

卷九

○句股（以御高深廣遠） 今有句三尺，股四尺，問爲弦幾何？答曰：五尺。

今有弦五尺，句三尺，問爲股幾何？答曰：四尺。

今有股四尺，弦五尺，問爲句幾何？答曰：三尺。

句股 〔短面曰句，長面曰股，相與結角曰弦。句短其股，股短其弦。將以施於諸 率，故先具此術以見其源也。〕 術曰：句、股各自乘，並，而開方除之，即弦。

〔句自乘爲朱方，股自乘爲青方。令出入相補，各從其類，因就其餘不移動 也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。〕 又，股自乘，以減弦自乘。其餘，開方除之，即句。

〔淳風等按：此術以句、股冪合成弦冪。句方於內，則句短於股。令股自乘， 以減弦自乘，餘者即句冪也。故開方除之，即句也。〕 又，句自乘，以減弦自乘。其餘，開方除之，即股。

〔句、股冪合以成弦冪，令去其一，則餘在者皆可得而知之。〕 今有圓材，徑二尺五寸。欲爲方版，令厚七寸，問廣幾何？答曰：二尺四寸。

術曰：令徑二尺五寸自乘，以七寸自乘，減之。其餘，開方除之，即廣。

〔此以圓徑二尺五寸爲弦，版厚七寸爲句，所求廣爲股也。〕 今有木長二丈，圍之三尺。葛生其下，纏木七週，上與木齊。問葛長几何？ 答曰：二丈九尺。

術曰：以七週乘圍爲股，木長爲句，爲之求弦。弦者，葛之長。

〔據圍廣，求從爲木長者其形葛卷裹袤。以筆管，青線宛轉，有似葛之纏木。

解而觀之，則每週之間自有相間成句股弦。則其間葛長，弦。七週乘圍，併合衆 句以爲一句；木長而股，短；術雲木長謂之股，言之倒。句與股求弦，亦無圍。

弦之自乘冪出上第一圖。句、股冪合爲弦冪，明矣。然二冪之數謂倒在於弦冪之 中而已。可更相表裏，居里者則成方冪，其居表者則成矩冪。二表裏形訛而數均。

又按：此圖句冪之矩青，卷白表，是其冪以股弦差爲廣，股弦併爲袤，而股冪方 其裏。股冪之矩青，卷白表，是其冪以句弦差爲廣，句弦併爲袤，而句冪方其裏。

是故差之與並用除之，短、長互相乘也。〕 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭 長各幾何？答曰：水深一丈二尺。葭長一丈三尺。

術曰：半池方自乘， 〔此以池方半之，得五尺爲句；水深爲股；葭長爲弦。以句、弦見股，故令 句自乘，先見矩冪也。〕 以出水一尺自乘，減之。

〔出水者，股弦差。減此差冪於矩冪則除之。〕 餘，倍出水除之，即得水深。

〔差爲矩冪之廣，水深是股。令此冪得出水一尺爲長，故爲矩而得葭長也。〕 加出水數，得葭長。

〔淳風等按：此葭本出水一尺，既見水深，故加出水尺數而得葭長也。〕 今有立木，系索其末，委地三尺。引索卻行，去本八尺而索盡。問索長几何？ 答曰：一丈二尺六分尺之一。

術曰：以去本自乘， 〔此以去本八尺爲句，所求索者，弦也。引而索盡、開門去閫者，句及股弦 差，同一術。去本自乘者，先張矩冪。〕 令如委數而一。

〔委地者，股弦差也。以除矩冪，即是股弦並也。〕 所得，加委地數而半之，即索長。

〔子不可半者，倍其母。加差者並，則兩長。故又半之。其減差者並，而半 之，得木長也。〕 今有垣高一丈，倚木於垣，上與垣齊。引木卻行一尺，其木至地。問木長几 何？答曰：五丈五寸。

術曰：以垣高一十尺自乘，如卻行尺數而一。所得，以加卻行尺數而半之， 即木長數。

〔此以垣高一丈爲句，所求倚木者爲弦，引卻行一尺爲股弦差。爲術之意與 系索問同也。〕 今有圓材埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺。問徑幾何？ 答曰：材徑二尺六寸。

術曰：半鋸道自乘， 〔此術以鋸道一尺爲句，材徑爲弦，鋸深一寸爲股弦差之一半。鋸道長是半 也。

淳風等按：下鋸深得一寸爲半股弦差。注云爲股差差者，鋸道也。〕 如深寸而一，以深寸增之，即材徑。

〔亦以半增之。如上術，本當半之，今此皆同半，故不復半也。〕 今有開門去閫一尺，不合二寸。問門廣幾何？答曰：一丈一寸。

術曰：以去閫一尺自乘。所得，以不合二寸半之而一。所得，增不合之半， 即得門廣。

〔此去閫一尺爲句，半門廣爲弦，不合二寸以半之，得一寸爲股弦差。求弦， 故當半之。今次以兩弦爲廣數，故不復半之也。〕 今有戶高多於廣六尺八寸，兩隅相去適一丈。問戶高、廣各幾何？答曰：廣 二尺八寸。高九尺六寸。

術曰：令一丈自乘爲實。半相多，令自乘，倍之，減實。半其餘，以開方除 之。所得，減相多之半，即戶廣；加相多之半，即戶高。

〔令戶廣爲句，高爲股，兩隅相去一丈爲弦，高多於廣六尺八寸爲句股差。

按圖爲位，弦冪適滿萬寸。倍之，減句股差冪，開方除之。其所得即高廣並數。

以差減並而半之，即戶廣。加相多之數，即戶高也。今此術先求其半。一丈自乘 爲朱冪四、黃冪一。半差自乘，又倍之，爲黃冪四分之二，減實，半其餘，有朱 冪二、黃冪四分之一。其於大方者四分之一。故開方除之，得高廣並數半。減差 半，得廣；加，得戶高。又按：此圖冪：句股相併冪而加其差冪，亦減弦冪，爲 積。蓋先見其弦，然後知其句與股。今適等，自乘，亦各爲方，合爲弦冪。令半 相多而自乘，倍之，又半並自乘，倍之，亦合爲弦冪。而差數無者，此各自乘之， 而與相乘數，各爲門實。及股長句短，同源而分流焉。假令句、股各五，弦冪五 十，開方除之，得七尺，有餘一，不盡。假令弦十，其冪有百，半之爲句、股二 冪，各得五十，當亦不可開。故曰：圓三、徑一，方五、斜七，雖不正得盡理， 亦可言相近耳。其句股合而自相乘之冪者，令弦自乘，倍之，爲兩弦冪，以減之， 其餘，開方除之，爲句股差。加於合而半，爲股；減差於合而半之，爲句。句、 股、弦即高、廣、邪。其出此圖也，其倍弦爲袤。令矩句即爲冪，得廣即句股差。

其矩句之冪，倍句爲從法，開之亦句股差。以句股差冪減弦冪，半其餘，差爲從 法，開方除之，即句也。〕 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。問折者高几何？答曰：四尺二十分尺 之一十一。

術曰：以去本自乘， 〔此去本三尺爲句，折之餘高爲股，以先令句自乘之冪。〕 令如高而一。

〔凡爲高一丈爲股弦並，以除此冪得差。〕 所得，以減竹高而半餘，即折者之高也。

〔此術與系索之類更相反覆也。亦可如上術，令高自乘爲股弦並冪，去本自 乘爲矩冪，減之，餘爲實。倍高爲法，則得折之高數也。〕 今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。乙東行，甲南行十步而斜東北與乙 會。問甲、乙行各幾何？答曰：乙東行一十步半，甲斜行一十四步半及之。

術曰：令七自乘，三亦自乘，並而半之，以爲甲斜行率。斜行率減於七自乘， 餘爲南行率。以三乘七爲乙東行率。

〔此以南行爲句，東行爲股，斜行爲弦，並句弦率七。欲引者，當以股率自 乘爲冪，如並而一，所得爲句弦差率。加並之半爲弦率，以差率減，餘爲句率。

如是或有分，當通而約之乃定。術以同使無分母，故令句弦並自乘爲朱、黃相連 之方。股自乘爲青冪之矩，以句弦併爲袤，差爲廣。今有相引之直，加損同上。

其圖大體以兩弦爲袤，句弦併爲廣。引黃斷其半爲弦率。列用率七自乘者，句弦 並之率。故弦減之，餘爲句率。同立處是中停也，皆句弦併爲率，故亦以句率同 其袤也。〕 置南行十步，以甲斜行率乘之；副置十步，以乙東行率乘之；各自爲實。實 如南行率而一，各得行數。

〔南行十步者，所有見句求見弦、股，故以弦、股率乘，如句率而一。〕 今有句五步，股十二步。問句中容方几何？答曰：方三步十七分步之九。

術曰：並句、股爲法，句、股相乘爲實。實如法而一，得方一步。

〔句、股相乘爲朱、青、黃冪各二。令黃冪袤於隅中，朱、青各以其類，令 從其兩徑，共成修之冪：中方黃爲廣，並句、股爲袤。故並句、股爲法。冪圖： 方在句中，則方之兩廉各自成小句股，而其相與之勢不失本率也。句面之小句、 股，股面之小句、股各併爲中率，令股爲中率，並句、股爲率，據見句五步而今 有之，得中方也。復令句爲中率，以並句、股爲率，據見股十二步而今有之，則 中方又可知。此則雖不效而法，實有法由生矣。下容圓率而似今有、衰分言之， 可以見之也。〕 今有句八步，股一十五步。問句中容圓徑幾何？答曰：六步。

術曰：八步爲句，十五步爲股，爲之求弦。三位並之爲法。以句乘股，倍之 爲實。實如法，得徑一步。

〔句、股相乘爲圖本體，朱、青、黃冪各二。倍之，則爲各四。可用畫於小 紙，分裁邪正之會，令顛倒相補，各以類合，成修冪：圓徑爲廣，並句、股、弦 爲袤。故並句、股、弦以爲法。又以圓大體言之，股中青必令立規於橫廣，句、 股又邪三徑均。而復連規，從橫量度句、股，必合而成小方矣。又畫中弦以規 除會，則句、股之面中央小句股弦：句之小股、股之小句皆小方之面，皆圓徑之 半。其數故可衰。以句、股、弦爲列衰，副併爲法。以句乘未並者，各自爲實。

實如法而一，得句面之小股可知也。以股乘列衰爲實，則得股面之小句可知。言 雖異矣，及其所以成法之實，則同歸矣。則圓徑又可以表之差並：句弦差減股 爲圓徑；又，弦減句股並，餘爲圓徑；以句弦差乘股弦差而倍之，開方除之，亦 圓徑也。〕 今有邑方二百步，各中開門。出東門一十五步有木。問出南門幾何步而見木？ 答曰：六百六十六步大半步。

術曰：出東門步數爲法， 〔以句率爲法也。〕 半邑方自乘爲實，實如法得一步。

〔此以出東門十五步爲句率，東門南至隅一百步爲股率，南門東至隅一百步 爲見句步。欲以見句求股，以爲出南門數。正合半邑方自乘者，股率當乘見句， 此二者數同也。〕 今有邑東西七裏，南北九里，各中開門。出東門一十五里有木。問出南門幾 何步而見木？答曰：三百一十五步。

術曰：東門南至隅步數，以乘南門東至隅步數爲實。以木去門步數爲法。實 如法而一。

〔此以東門南至隅四里半爲句率，出東門一十五里爲股率，南門東至隅三裏 半爲見股。所問出南門即見股之句。爲術之意，與上同也。〕 今有邑方不知大小，各中開門。出北門三十步有木，出西門七百五十步見木。

問邑方几何？答曰：一里。

術曰：令兩出門步數相乘，因而四之，爲實。開方除之，即得邑方。

〔按：半邑方，令半方自乘，出門除之，即步。令二出門相乘，故爲半方邑 自乘，居一隅之積分。因而四之，即得四隅之積分。故爲實，開方除，即邑方也。〕 今有邑方不知大小，各中開門。出北門二十步有木，出南門一十四步，折而 西行一千七百七十五步見木。問邑方几何？答曰：二百五十步。

術曰：以出北門步數乘西行步數，倍之，爲實。

〔此以折而西行爲股，自木至邑南一十四步爲句，以出北門二十步爲句率， 北門至西隅爲股率，半廣數。故以出北門乘折西行股，以股率乘句之冪。然此冪 居半，以西行。故又倍之，合東，盡之也。〕 並出南、北門步數，爲從法，開方除之，即邑方。

〔此術之冪，東西如邑方，南北自木盡邑南十四步之冪，各南北步爲廣，邑 方爲袤，故連兩廣爲從法，並，以爲隅外之冪也。〕 今有邑方一十里，各中開門。甲、乙俱從邑中央而出：乙東出；甲南出，出 門不知步數，邪向東北，磨邑隅，適與乙會。率：甲行五，乙行三。問甲、乙行 各幾何？答曰：甲出南門八百步，邪東北行四千八百八十七步半，及乙。乙東行 四千三百一十二步半。

術曰：令五自乘，三亦自乘，並而半之，爲邪行率；邪行率減於五自乘者， 餘爲南行率；以三乘五爲乙東行率。

〔求三率之意與上甲乙同。〕 置邑方，半之，以南行率乘之，如東行率而一，即得出南門步數。

〔今半方，南門東至隅五里。半邑者，謂爲小股也。求以爲出南門步數。故 置邑方，半之，以南行句率乘之，如股率而一。〕 以增邑方半，即南行。

〔半邑者，謂從邑心中停也。〕 置南行步，求弦者，以邪行率乘之；求東行者，以東行率乘之，各自爲實。

實如法，南行率，得一步。

〔此術與上甲乙同。〕 今有木去人不知遠近。立四表，相去各一丈，令左兩表與所望參相直。從後 右表望之，入前右表三寸。問木去人幾何？答曰：三十三丈三尺三寸少半寸。

術曰：令一丈自乘爲實，以三寸爲法，實如法而一。

〔此以入前右表三寸爲句率，右兩表相去一丈爲股率，左右兩表相去一丈爲 見句。所問木去人者，見句之股。股率當乘見句，此二率俱一丈，故曰自乘之。

以三寸爲法。實如法得一寸。〕 今有山居木西，不知其高。山去木五十三裏，木高九丈五尺。人立木東三裏， 望木末適與山峯斜平。人目高七尺。問山高几何？答曰：一百六十四丈九尺六寸 太半寸。

術曰：置木高，減人目高七尺， 〔此以木高減人目高七尺，餘有八丈八尺，爲句率；去人目三裏爲股率；山 去木五十三裏爲見股，以求句。加木之高，故爲山高也。〕 餘，以乘五十三裏爲實。以人去木三裏爲法。實如法而一。所得，加木高， 即山高。

〔此術句股之義。〕 今有井，徑五尺，不知其深。立五尺木於井上，從木末望水岸，入徑四寸。

問井深幾何？答曰：五丈七尺五寸。

術曰：置井徑五尺，以入徑四寸減之，餘，以乘立木五尺爲實。以入徑四寸 爲法。實如法得一寸。

〔此以入徑四寸爲句率，立木五尺爲股率，井徑之餘四尺六寸爲見句。問井 深者，見句之股也。〕 今有戶不知高、廣，竿不知長短。橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出。

問戶高、廣、邪各幾何？答曰：廣六尺。高八尺。邪一丈。

術曰：從、橫不出相乘，倍，而開方除之。所得，加從不出，即戶廣； 〔此以戶廣爲句，戶高爲股，戶邪爲弦。凡句之在股，或矩於表，或方於裏。

連之者舉表矩而端之。又從句方里令爲青矩之表，未滿黃方。滿此方則兩端之邪 重於隅中，各以股弦差爲廣，句弦差爲袤。故兩端差相乘，又倍之，則成黃方之 冪。開方除之，得黃方之面。其外之青知，亦以股弦差爲廣。故以股弦差加，則 爲句也。〕 加橫不出，即戶高；兩不出加之，得戶邪。