九章算術

卷八

○方程（以御錯糅正負） 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九鬥；上禾二秉，中禾三秉， 下禾一秉，實三十四鬥；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六鬥。問上、 中、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉九鬥四分鬥之一。中禾一秉四鬥四分鬥 之一。下禾一秉二斗四分鬥之三。

方程 〔程，課程也。羣物總雜，各列有數，總言其實。令每行爲率。二物者再程， 三物者三程，皆如物數程之。並列爲行，故謂之方程。行之左右無所同存，且爲 有所據而言耳。此都術也，以空言難曉，故特系之禾以決之。又列中、左行如右 行也。〕 術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九鬥於右方。中、左禾列 如右方。以右行上禾遍乘中行，而以直除。

〔爲術之意，令少行減多行，反覆相減，則頭位必先盡。上無一位，則此行 亦闕一物矣。然而舉率以相減，不害餘數之課也。若消去頭位，則下去一物之實。

如是疊令左右行相減，審其正負，則可得而知。先令右行上禾乘中行，爲齊同之 意。爲齊同者，謂中行直減右行也。從簡易雖不言齊同，以齊同之意觀之，其義 然矣。〕 又乘其次，亦以直除。

〔復去左行首。〕 然以中行中禾不盡者遍乘左行，而以直除。

〔亦令兩行相去行之中禾也。〕 左方下禾不盡者，上爲法，下爲實。實即下禾之實。

〔上、中禾皆去，故餘數是下禾實，非但一秉。欲約衆秉之實，當以禾秉數 爲法。列此，以下禾之秉數乘兩行，以直除，則下禾之位皆決矣。各以其餘一位 之秉除其下實。即計數矣用算繁而不省。所以別爲法，約也。然猶不如自用其舊。

廣異法也。〕 求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。

〔此謂中兩禾實，下禾一秉實數先見，將中秉求中禾，其列實以減下實。而 左方下禾雖去一，以法爲母，於率不通。故先以法乘，其通而同之。俱令法爲母， 而除下禾實。以下禾先見之實令乘下禾秉數，即得下禾一位之列實。減於下實， 則其數是中禾之實也。〕 餘，如中禾秉數而一，即中禾之實。

〔餘，中禾一位之實也。故以一位秉數約之，乃得一秉之實也。〕 求上禾，亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。

〔此右行三禾共實，合三位之實。故以二位秉數約之，乃得一秉之實。今中 下禾之實其數並見，令乘右行之禾秉以減之。故亦如前各求列實，以減下實也。〕 餘，如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。

〔三實同用，不滿法者，以法命之。母、實皆當約之。〕 今有上禾七秉，損實一斗，益之下禾二秉，而實一十鬥；下禾八秉，益實一 鬥，與上禾二秉，而實一十鬥。問上、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉實一 鬥五十二分鬥之一十八。下禾一秉實五十二分鬥之四十一。

術曰：如方程。損之曰益，益之曰損。

〔問者之辭雖？今按：實雲上禾七秉，下禾二秉，實一十一斗；上禾二秉， 下禾八秉，實九鬥也。“損之曰益”，言損一斗，餘當一十鬥；今欲全其實，當 加所損也。“益之曰損”，言益實以一斗，乃滿一十鬥；今欲知本實，當減所加， 即得也。〕 損實一斗者，其實過一十鬥也；益實一斗者，其實不滿一十鬥也。

〔重諭損益數者，各以損益之數損益之也。〕 今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，實皆不滿鬥。上取中、中取下、下取 上各一秉而實滿鬥。問上、中、下禾實一秉各幾何？答曰上禾一秉實二十五分鬥 之九。中禾一秉實二十五分鬥之七。下禾一秉實二十五分鬥之四。

術曰：如方程。各置所取。

〔置上禾二秉爲右行之上，中禾三秉爲中行之中，下禾四秉爲左行之下，所 取一秉及實一斗各從其位。諸行相借取之物皆依此例。〕 以正負術入之。

正負術曰： 〔今兩算得失相反，要令正負以名之。正算赤，負算黑，否則以邪正爲異。

方程自有赤、黑相取，法、實數相推求之術。而其並減之勢不得廣通，故使赤、 黑相消奪之，於算或減或益。同行異位殊爲二品，各有並、減之差見於下焉。著 此二條，特系之禾以成此二條之意。故赤、黑相雜足以定上下之程，減、益雖殊 足以通左右之數，差、實雖分足以應同異之率。然則其正無入以負之，負無入以 正之，其率不妄也。〕 同名相除， 〔此謂以赤除赤，以黑除黑，行求相減者，爲去頭位也。然則頭位同名者， 當用此條，頭位異名者，當用下條。〕 異名相益， 〔益行減行，當各以其類矣。其異名者，非其類也。非其類者，猶無對也， 非所得減也。故赤用黑對則除，黑；無對則除，黑；黑用赤對則除，赤；無對則 除，赤；赤黑並於本數。此爲相益之，皆所以爲消奪。消奪之與減益成一實也。

術本取要，必除行首。至於他位，不嫌多少，故或令相減，或令相併，理無同異 而一也。〕 正無入負之，負無入正之。

〔無入，爲無對也。無所得減，則使消奪者居位也。其當以列實或減下實， 而行中正負雜者亦用此條。此條者，同名減實，異名益實，正無入負之，負無入 正之也。〕 其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。

〔此條異名相除爲例，故亦與上條互取。凡正負所以記其同異，使二品互相 取而已矣。言負者未必負於少，言正者未必正於多。故每一行之中雖復赤黑異算 無傷。然則可得使頭位常相與異名。此條之實兼通矣，遂以二條反覆一率。觀其 每與上下互相取位，則隨算而言耳，猶一術也。又，本設諸行，欲因成數以相去 耳。故其多少無限，令上下相命而已。若以正負相減，如數有舊增法者，每行可 均之，不但數物左右之也。〕 今有上禾五秉，損實一斗一升，當下禾七秉；上禾七秉，損實二斗五升，當 下禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉五升。下禾一秉二升。

術曰：如方程。置上禾五秉正，下禾七秉負，損實一斗一升正。

〔言上禾五秉之實多，減其一斗一升，餘，是與下禾七秉相當數也。故互其 算，令相折除，以一斗一升爲差。爲差者，上禾之餘實也。〕 次置上禾七秉正，下禾五秉負，損實二斗五升正。以正負術入之。

〔按：正負之術，本設列行，物程之數不限多少，必令與實上下相次，而以 每行各自爲率。然而或減或益，同行異位，殊爲二品，各自並、減，之差見於下 也。〕 今有上禾六秉，損實一斗八升，當下禾一十秉；下禾一十五秉，損實五升， 當上禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉實八升。下禾一秉實三 升。

術曰：如方程。置上禾六秉正，下禾一十秉負，損實一斗八升正。次，上禾 五秉負，下禾一十五秉正，損實五升正。以正負術入之。

〔言上禾六秉之實多，減損其一斗八升，餘是與下禾十秉相當之數。故亦互 其算，而以一斗八升爲差實。差實者，上禾之餘實。〕 今有上禾三秉，益實六鬥，當下禾一十秉；下禾五秉，益實一斗，當上禾二 秉。問上、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉實八斗。下禾一秉實三鬥。

術曰：如方程。置上禾三秉正，下禾一十秉負，益實六鬥負。次置上禾二秉 負，下禾五秉正，益實一斗負。以正負術入之。

〔言上禾三秉之實少，益其六鬥，然後於下禾十秉相當也。故亦互其算，而 以六鬥爲差實。差實者，下禾之餘實。〕 今有牛五，羊二，直金十兩；牛二，羊五，直金八兩。問牛、羊各直金幾何？ 答曰：牛一直金一兩二十一分兩之一十三。羊一直金二十一分兩之二十。

術曰：如方程。

〔假令爲同齊，頭位爲牛，當相乘。右行定，更置牛十，羊四，直金二十兩； 左行：牛十，羊二十五，直金四十兩。牛數等同，金多二十兩者，羊差二十一使 之然也。以少行減多行，則牛數盡，惟羊與直金之數見，可得而知也。以小推大， 雖四五行不異也。〕 今有賣牛二，羊五，以買一十三豕，有餘錢一千；賣牛三，豕三，以買九羊， 錢適足；賣六羊，八豕，以買五牛，錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何？答曰 牛價一千二百。羊價五百。豕價三百。

術曰：如方程。置牛二，羊五正，豕一十三負，餘錢數正；次，牛三正，羊 九負，豕三正；次五牛負，六羊正，八豕正，不足錢負。以正負術入之。

〔此中行買、賣相折，錢適足，故但互買賣算而已。故下無錢直也。設欲以 此行如方程法，先令二牛遍乘中行，而以右行直除之。是故終於下實虛缺矣。故 注曰正無實負，負無實正，方爲類也。方將以別實加適足之數與實物作實。

盈不足章“黃金白銀”與此相當。“假令黃金九，白銀一十一，稱之重適等。

交 易其一，金輕十三兩。問金、銀一枚各重幾何？”與此同。〕 今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕。一雀一燕交 而處，衡適平。並 雀、燕重一斤。問雀、燕一枚各重幾何？答曰：雀重一兩一十九分兩之一十三。

燕重一兩一十九分兩之五。

術曰：如方程。交 易質之，各重八兩。

〔此四雀一燕與一雀五燕衡適平，並重一斤，故各八兩。列兩行程數。左行 頭位其數有一者，令右行遍除。亦可令於左行而取其法、實於左。左行數多，以 右行取其數。左頭位減盡，中、下位算當燕與實。右行不動。左上空，中法，下 實，即每枚當重宜可知也。按：此四雀一燕與一雀五燕其重等，是三雀、四燕重 相當。雀率重四，燕率重三也。諸再程之率皆可異術求也，即其數也。〕 今有甲、乙二人持錢不知其數。甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十。

問甲、乙持錢各幾何？答曰：甲持三十七錢半。乙持二十五錢。

術曰：如方程。損益之。

〔此問者言一甲，半乙而五十；太半甲，一乙亦五十也。各以分母乘其全， 內子。行定：二甲，一乙而錢一百；二甲，三乙而錢一百五十。於是乃如方程。

諸物有分者放此。〕 今有二馬，一牛，價過一萬，如半馬之價；一馬，二牛，價不滿一萬，如半 牛之價。問牛、馬價各幾何？答曰：馬價五千四百五十四錢一十一分錢之六。牛 價一千八百一十八錢一十一分錢之二。

術曰：如方程。損益之。

〔此一馬半與一牛價直一萬也，二牛半與一馬亦直一萬也。一馬半與一牛直 錢一萬，通分內子，右行爲三馬，二牛，直錢二萬。二牛半與一馬直錢一萬，通 分內子，左行爲二馬，五牛，直錢二萬也。〕 今有武馬一匹，中馬二匹，下馬三匹，皆載四十石至阪，皆不能上。武馬借 中馬一匹，中馬借下馬一匹，下馬借武馬一匹，乃皆上。問武、中、下馬一匹各 力引幾何？答曰：武馬一匹力引二十二石七分石之六。中馬一匹力引一十七石七 分石之一。下馬一匹力引五石七分石之五。

術曰：如方程。各置所借，以正負術入之。

今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆。乙三綆不足，以丙一綆；丙四綆不 足，以丁一綆；丁五綆不足，以戊一綆；戊六綆不足，以甲一綆。如各得所不足 一綆，皆逮。問井深、綆長各幾何？答曰：井深七丈二尺一寸。甲綆長二丈六尺 五寸。乙綆長一丈九尺一寸。丙綆長一丈四尺八寸。丁綆長一丈二尺九寸。戊綆 長七尺六寸。

術曰：如方程。以正負術入之。

〔此率初如方程爲之，名各一逮井。其後，法得七百二十一，實七十六，是 爲七百二十一綆而七十六逮井，並用逮之數。以法除實者，而戊一綆逮井之數定， 逮七百二十一分之七十六。是故七百二十一爲井深，七十六爲戊綆之長，舉率以 言之。〕 今有白禾二步，青禾三步，黃禾四步，黑禾五步，實各不滿鬥。白取青、黃， 青取黃、黑，黃取黑、白，黑取白、青，各一步，而實滿鬥。問白、青、黃、黑 禾實一步各幾何？答曰：白禾一步實一百一十一分鬥之三十三。青禾一步實一百 一十一分鬥之二十八。黃禾一步實一百一十一分鬥之一十七。黑禾一步實一百一 十一分鬥之一十。

術曰：如方程。各置所取，以正負術入之。

今有甲禾二秉，乙禾三秉，丙禾四秉，重皆過於石。甲二重如乙一，乙三重 如丙一，丙四重如甲一。問甲、乙、丙禾一秉各重幾何？答曰：甲禾一秉重二十 三分石之一十七。乙禾一秉重二十三分石之一十一。丙禾一秉重二十三分石之一 十。

術曰：如方程。置重過於石之物爲負。

〔此問者言甲禾二秉之重過於一石也。其過者何雲？如乙一秉重矣。互其算， 令相折除，而一以石爲之差實。差實者，如甲禾餘實。故置算相與同也。〕 以正負術入之。

〔此入，頭位異名相除者，正無入正之，負無入負之也。〕 今有令一人，吏五人，從者一十人，食雞一十；令一十人，吏一人，從者五 人，食雞八；令五人，吏一十人，從者一人，食雞六。問令、吏、從者食雞各幾 何？答曰令一人食一百二十二分雞之四十五。吏一人食一百二十二分雞之四十一。

從者一人食一百二十二分雞之九十七。

術曰：如方程。以正負術入之。

今有五羊，四犬，三雞，二兔，直錢一千四百九十六；四羊，二犬，六雞， 三兔，直錢一千一百七十五；三羊，一犬，七雞，五兔，直錢九百五十八；二羊， 三犬，五雞，一兔，直錢八百六十一。問羊、犬、雞、兔價各幾何？答曰：羊價 一百七十七。犬價一百二十一。雞價二十三。兔價二十九。

術曰：如方程。以正負術入之。

今有麻九鬥，麥七鬥，菽三鬥，荅二斗，黍五斗，直錢一百四十；麻七鬥， 麥六鬥，菽四鬥，荅五斗，黍三鬥，直錢一百二十八；麻三鬥，麥五斗，菽七鬥， 荅六鬥，黍四鬥，直錢一百一十六；麻二斗，麥五斗，菽三鬥，荅九鬥，黍四鬥， 直錢一百一十二；麻一斗，麥三鬥，菽二斗，荅八斗，黍五斗，直錢九十五。問 一斗直幾何？荅曰：麻一斗七錢。麥一斗四錢。菽一斗三錢。荅一斗五錢。黍一 斗六錢。

術曰：如方程。以正負術入之。

〔此麻麥與均輸、少廣之章重衰、積分皆爲大事。其拙於精理徒按本術者， 或用算而布氈，方好煩而喜誤，曾不知其非，反欲以多爲貴。故其算也，莫不暗 於設通而專於一端。至於此類，苟務其成，然或失之，不可謂要約。更有異術者， 庖丁解牛，遊刃理間，故能歷久其刃如新。夫數，猶刃也，易簡用之則動中庖丁 之理。故能和神愛刃，速而寡尤。凡九章爲大事，按法皆不盡一百算也。雖布算 不多，然足以算多。世人多以方程爲難，或盡布算之象在綴正負而已，未暇以論 其設動無方，斯膠柱調瑟之類。聊復恢演，爲作新術，著之於此，將亦啓導疑意。

網羅道精，豈傳之空言？記其施用之例，著策之數，每舉一隅焉。

方程新術曰：以正負術入之。令左、右相減，先去下實，又轉去物位，則其 求一行二物正負相借者，是其相當之率。又令二物與他行互相去取，轉其二物相 借之數，即皆相當之率也。各據二物相當之率，對易其數，即各當之率也。更置 成行及其下實，各以其物本率今有之，求其所同。並，以爲法。其當相併而行中 正負雜者，同名相從，異名相消，餘，以爲法。以下置爲實。實如法，即合所問 也。一物各以本率今有之，即皆合所問也。率不通者，齊之。

其一術曰：置羣物通率爲列衰。更置成行羣物之數，各以其率乘之，並，以 爲法。其當相併而行中正負雜者，同名相從，異名相消，餘爲法。以成行下實乘 列衰，各自爲實。實如法而一，即得。

以舊術爲之。凡應置五行。今欲要約，先置第三行，減以第四行，又減第五 行；次置第二行，以第二行減第一行，又減第四行。去其頭位；餘，可半；次置 右行及第二行。去其頭位；次以右行去第四行頭位，次以左行去第二行頭位，次 以第五行去第一行頭位；次以第二行去第四行頭位；餘，可半；以右行去第二行 頭位，以第二行去第四行頭位。餘，約之爲法、實。實如法而一，得六，即有黍 價。以法治第二行，得荅價，右行得菽價，左行得麥價，第三行麻價。如此凡用 七十七算。

以新術爲此。先以第四行減第三行；次以第三行去右行及第二行、第四行下 位，又以減左行下位，不足減乃止；次以左行減第三行下位，次以第三行去左行 下位。訖，廢去第三行。次以第四行去左行下位，又以減右行下位；次以右行去 第二行及第四行下位；次以第二行減第四行及左行頭位；次以第四行減左行菽位， 不足減乃止；次以左行減第二行頭位，餘，可再半；次以第四行去左行及第二行 頭位，次以第二行去左行頭位，餘，約之，上得五，下得三，是菽五當荅；次以 左行去第二行菽位，又以減第四行及右行菽位，不足減乃止；次以右行減第二行 頭位，不足減乃止；次以第二行去右行頭位，次以左行去右行頭位；餘，上得六， 下得五，是爲荅六當黍五；次以左行去右行荅位，餘，約之，上爲二，下爲一； 次以右行去第二行下位，以第二行去第四行下位，又以減左行下位；次，左行去 第二行下位，餘，上得三，下得四，是爲麥三當菽四；次以第二行減第四行下位； 次以第四行去第二行下位；餘，上得四，下得七，是爲麻四當麥七。是爲相當之 率舉矣。據麻四當麥七，即麻價率七而麥價率四；又麥三當菽四，即爲麥價率四 而菽價率三；又菽五當荅三，即爲菽價率三而荅價率五；又荅六當黍五，即爲荅 價率五而黍價率六；而率通矣。更置第三行，以第四行減之，餘有麻一斗，菽四 鬥正，荅三鬥負，下實四正。求其同爲麻之數，以菽率三、荅率五各乘其斗數， 如麻率七而一，菽得一斗七分鬥之五正，荅得二斗七分鬥之一負。則菽、荅化爲 麻。以並之，令同名相從，異名相消，餘得定麻七分鬥之四，以爲法。置四爲實， 而分母乘之，實得二十八，而分子化爲法矣以法除得七，即麻一斗之價。置麥率 四、菽率三、荅率五、黍率六，皆以麻乘之，各自爲實。以麻率七爲法。所得即 各爲價。亦可使置本行實與物同通之，各以本率今有之，求其本率所得。並， 以爲法。如此，即無正負之異矣，擇異同而已。又可以一術爲之。置五行通率， 爲麻七、麥四、菽三、荅五、黍六，以爲列衰。成行麻一斗，菽四鬥正，荅三鬥 負，各以其率乘之。訖，令同名相從，異名相消，餘爲法。又置下實乘列衰，所 得各爲實。此可以置約法，則不復乘列衰，各以列衰爲價。如此則凡用一百二十 四算也。〕