九章算術

卷二

○粟米（以御交 質變易） 粟米之法 〔凡此諸率相與大通，其時相求，各如本率。可約者約之。別術然也。〕 粟率五十大抃五十四稻六十 糲米三十糲飯七十五豉六十三 粺米二十七粺飯五十四飧九十 米二十四飯四十八熟菽一百三半 御米二十一御飯四十二糵一百七十五 小<麥啇>十三半菽荅麻麥各四十五 今有 〔此都術也。凡九數以爲篇名，可以廣施諸率。所謂告往而知來，舉一隅而 三隅反者也。誠能分詭數之紛雜，通彼此之否塞，因物成率，審辨名分，平其偏 頗，齊其參差，則終無不歸於此術也。〕 術曰：以所有數乘所求率爲實。以所有率爲法。

〔少者多之始，一者數之母，故爲率者必等之於一。據粟率五、糲率三，是 粟五而爲一，糲米三而爲一也。欲化粟爲米者，粟當先本是一。一者，謂以五約 之，令五而爲一也。訖，乃以三乘之，令一而爲三。如是，則率至於一，以五爲 三矣。然先除後乘，或有餘分，故術反之。又完言之知，粟五升爲糲米三升；以 分言之知，粟一斗爲糲米五分鬥之三，以五爲母，三爲子。以粟求糲米者，以子 乘，其母報除也。然則所求之率常爲母也。

淳風等按：“宜云所求之率常爲子，所有之率常爲母。”今乃雲“所求之率 常爲母”知，脫錯也。〕 實如法而一。

今有粟一斗，欲爲糲米。問得幾何？答曰：爲糲米六升。

術曰：以粟求糲米，三之，五而一。

〔淳風等按：都術：以所求率乘所有數，以所有率爲法。此術以粟求米，故 粟爲所有數。三是米率，故三爲所求率。五爲粟率，故五爲所有率。粟率五十， 米率三十，退位求之，故惟雲三、五也。〕 今有粟二斗一升，欲爲粺米。問得幾何？答曰：爲粺米一斗一升五十分 升之十七。

術曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。

〔淳風等按：粺米之率二十有七，故直以二十七之，五十而一也。〕 今有粟四鬥五升，欲爲米。問得幾何？答曰：爲米二斗一升五 分升之三。

術曰：以粟求米，十二之，二十五而一。

〔淳風等按：米之率二十有四，以爲率太繁，故因而半之。半所求之 率，以乘所有之數。所求之率既減半，所有之率亦減半。是故十二乘之，二十五 而一也。〕 今有粟七鬥九升，欲爲御米。問得幾何？答曰：爲御米三鬥三升五十分升之 九。

術曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。

今有粟一斗，欲爲小<麥啇>。問得幾何？答曰：爲小<麥啇>二升一十分升之 七。

術曰：以粟求小<麥啇>，二十七之，百而一。

〔淳風等按：小<麥啇>之率十三有半。半者二爲母，以二通之，得二十七， 爲所求率。又以母二通其粟率，得一百，爲所有率。凡本率有分者，須即乘除也。

他皆仿此。〕 今有粟九鬥八升，欲爲大<麥啇>。問得幾何？答曰：爲大<麥啇>一十鬥五升 二十五分升之二十一。

術曰：以粟求大<麥啇>，二十七之，二十五而一。

〔淳風等按：大<麥啇>之率五十有四。因其可半，故二十七之，亦如粟求 米，半其二率。〕 今有粟二斗三升，欲爲糲飯。問得幾何？答曰：爲糲飯三鬥四升半。

術曰：以粟求糲飯，三之，二而一。

〔淳風等按：糲飯之率七十有五，粟求糲飯，合以此數乘之。今以等數二十 有五約其二率，所求之率得三，所有之率得二，故以三乘二除。〕 今有粟三斗六升，欲爲粺飯。問得幾何？答曰：爲粺飯三鬥八升二十五 分升之二十二。

術曰：以粟求粺飯，二十七之，二十五而一。

〔淳風等按：此術與大<麥啇>多同。〕 今有粟八斗六升，欲爲飯。問得幾何？答曰：爲飯八斗二升二 十五分升之一十四。

術曰：以粟求飯，二十四之，二十五而一。

〔淳風等按：<麥啇>飯率四十八。此亦半二率而乘除。〕 今有粟九鬥八升，欲爲御飯。問得幾何？答曰：爲御飯八斗二升二十五分升 之八。

術曰：以粟求御飯，二十一之，二十五而一。

〔淳風等按：此術半率，亦與飯多同。〕 今有粟三鬥少半升，欲爲菽。問得幾何？答曰：爲菽二斗七升一十分升之三。

今有粟四鬥一升太半升，欲爲荅。問得幾何？答曰：爲荅三鬥七升半。

今有粟五斗太半升，欲爲麻。問得幾何？答曰：爲麻四鬥五升五分升之三。

今有粟一十鬥八升五分升之二，欲爲麥。問得幾何？答曰：爲麥九鬥七升二 十五分升之一十四。

術曰：以粟求菽、荅、麻、麥，皆九之，十而一。

〔淳風等按：四術率並四十五，皆是爲粟所求，俱合以此率乘其本粟。術欲 從省，先以等數五約之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘十除，義由於此。〕 今有粟七鬥五升七分升之四，欲爲稻。問得幾何？答曰：爲稻九鬥三十五分 升之二十四。

術曰：以粟求稻，六之，五而一。

〔淳風等按：稻率六十，亦約二率而乘除。〕 今有粟七鬥八升，欲爲豉。問得幾何？答曰：爲豉九鬥八升二十五分升之七。

術曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。

今有粟五斗五升，欲爲飧。問得幾何？答曰：爲飧九鬥九升。

術曰：以粟求飧，九之，五而一。

〔淳風等按：飧率九十，退位，與求稻多同。〕 今有粟四鬥，欲爲熟菽。問得幾何？答曰：爲熟菽八斗二升五分升之四。

術曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。

〔淳風等按：熟菽之率一百三半。半者，其母二，故以母二通之。所求之率 既被二乘，所有之率隨而俱長，故以二百七之，百而一。〕 今有粟二斗，欲爲糵。問得幾何？答曰：爲糵七鬥。

術曰：以粟求糵，七之，二而一。

〔淳風等按：糵率一百七十有五，合以此數乘其本粟。術欲從省，先以等數 二十五約之，所求之率得七，所有之率得二，故七乘二除。〕 今有糲米十五斗五升五分升之二，欲爲粟。問得幾何？答曰：爲粟二十五斗 九升。

術曰：以糲米求粟，五之，三而一。

〔淳風等按：上術以粟求米，故粟爲所有數，三爲所求率，五爲所有率。今 此以米求粟，故米爲所有數，五爲所求率，三爲所有率。準都術求之，各合其數。

以下所有反求多同，皆準此。〕 今有粺米二斗，欲爲粟。問得幾何？答曰：爲粟三鬥七升二十七分升之一。

術曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。

今有米三鬥少半升，欲爲粟。問得幾何？答曰：爲粟六鬥三升三十六 分升之七。

術曰：以米求粟，二十五之，十二而一。

今有御米十四鬥，欲爲粟。問得幾何？答曰：爲粟三十三鬥三升少半升。

術曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。

今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四，欲爲粟。問得幾何？答曰：爲粟 一十鬥五升九分升之七。

術曰：以稻求粟，五之，六而一。

今有糲米一十九鬥二升七分升之一，欲爲粺米。問得幾何？答曰：爲粺 米一十七鬥二升一十四分升之一十三。

術曰：以糲米求粺米，九之，十而一。

〔淳風等按：粺米率二十七，合以此數乘糲米。術欲從省，先以等數三約 之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘而十除。〕 今有糲米六鬥四升五分升之三，欲爲糲飯。問得幾何？答曰：爲糲飯一十六 鬥一升半。

術曰：以糲米求糲飯，五之，二而一。

〔淳風等按：糲飯之率七十有五，宜以本糲米乘此率數。術欲從省，先以等 數十五約之，所求之率得五，所有之率得二，故五乘二除，義由於此。〕 今有糲飯七斗六升七分升之四，欲爲飧。問得幾何？答曰：爲飧九鬥一升三 十五分升之三十一。

術曰：以糲飯求飧，六之，五而一。

〔淳風等按：飧率九十，爲糲飯所求，宜以糲飯乘此率。術欲從省，先以等 數十五約之，所求之率得六，所有之率得五。以此，故六乘五除也。〕 今有菽一斗，欲爲熟菽。問得幾何？答曰：爲熟菽二斗三升。

術曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。

〔淳風等按：熟菽之率一百三半。因其有半，各以母二通之，宜以菽數乘此 率。術欲從省，先以等數九約之，所求之率得一十一半，所有之率得五也。〕 今有菽二斗，欲爲豉。問得幾何？答曰：爲豉二斗八升。

術曰：以菽求豉，七之，五而一。

〔淳風等按：豉率六十三，爲菽所求，宜以菽乘此率。術欲從省，先以等數 九約之，所求之率得七，而所有之率得五也。〕 今有麥八斗六升七分升之三，欲爲小<麥啇>。問得幾何？答曰：爲小<麥啇> 二斗五升一十四分升之一十三。

術曰：以麥求小<麥啇>，三之，十而一。

〔淳風等按：小<麥啇>之率十三半，宜以母二通之，以乘本麥之數。術欲從 省，先以等數九約之，所求之率得三，所有之率得十也。〕 今有麥一斗，欲爲大<麥啇>。問得幾何？答曰：爲大抃一斗二升。

術曰：以麥求大<麥啇>，六之，五而一。

〔淳風等按：大<麥啇>之率五十有四，合以麥數乘此率。術欲從省，先以等 數九約之，所求之率得六，所有之率得五也。〕 今有出錢一百六十，買瓴甓十八枚。

〔瓴甓，磚也。〕 問枚幾何？答曰：一枚八錢九分錢之八。

今有出錢一萬三千五百，買竹二千三百五十個。問個幾何？答曰：一個，五 錢四十七分錢之三十五。

經率術曰：以所買率爲法，所出錢數爲實，實如法得一。

〔此術猶經分。

淳風等按：今有之義，以所求率乘所有數，合以瓴甓一枚乘錢一百六十爲實。

但以一乘不長，故不復乘，是以徑將所買之率與所出之錢爲法、實也。又按：此 今有之義。出錢爲所有數，一枚爲所求率，所買爲所有率，而今有之，即得所求 數。一乘不長，故不復乘，是以徑將所買之率爲法，以所出之錢爲實，實如法得 一枚錢。不盡者，等數而命分。〕 今有出錢五千七百八十五，買漆一斛六鬥七升太半升。欲鬥率之，問鬥幾何？ 答曰：一斗，三百四十五錢五百三分錢之一十五。

今有出錢七百二十，買縑一匹二丈一尺。欲丈率之，問丈幾何？答曰：一丈， 一百一十八錢六十一分錢之二。

今有出錢二千三百七十，買布九匹二丈七尺。欲匹率之，問匹幾何？答曰： 一匹，二百四十四錢一百二十九分錢之一百二十四。

今有出錢一萬三千六百七十，買絲一石二鈞一十七斤。欲石率之，問石几何？ 答曰：一石，八千三百二十六錢一百九十七分錢之百七十八。

術曰：以求所率乘錢數爲實，以所買率爲法，實如法得一。

〔淳風等按：今有之義，錢爲所求率，物爲所有數，故以乘錢，又以分母乘 之爲實。實如法而一，有分者通之。所買通分內子爲所有率，故以爲法。得錢數 不盡而命分者，因法爲母，實餘爲子。實見不滿，故以命之。〕 今有出錢五百七十六，買竹七十八個。欲其大小率之，問各幾何？答曰：其 四十八個，個七錢；其三十個，個八錢。

今有出錢一千一百二十，買絲一石二鈞十八斤。欲其貴賤斤率之，問各幾何？ 答曰：其二鈞八斤，斤五錢；其一石一十斤，斤六錢。

今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤石 率之，問各幾何？答曰：其一鈞九兩一十二銖，石八千五十一錢；其一石一鈞二 十七斤九兩一十七銖，石八千五十二錢。

今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤鈞 率之，問各幾何？答曰：其七斤一十兩九銖，鈞二千一十二錢；其一石二鈞二十 斤八兩二十銖，鈞二千一十三錢。

今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤斤 率之，問各幾何？答曰：其一石二鈞七斤十兩四銖，斤六十七錢；其二十斤九兩 一銖，斤六十八錢。

今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤兩 率之，問各幾何？答曰：其一石一鈞一十七斤一十四兩一銖，兩四錢；其一鈞一 十斤五兩四銖，兩五錢。

其率術曰：各置所買石、鈞、斤、兩以爲法，以所率乘錢數爲實，實如法 而一。不滿法者，反以實減法。法賤實貴。其求石、鈞、斤、兩，以積銖各除法、 實，各得其積數，餘各爲銖。

〔其率知，欲令無分。按：出錢五百七十六，買竹七十八個，以除錢，得七， 實餘三十，是爲三十個復可增一錢。然則實餘之數即是貴者之數，故曰實貴也。

本以七十八個爲法，今以貴者減之，則其餘悉是賤者之數。故曰法賤也。其求石、 鈞、斤、兩，以積銖各除法、實，各得其積數，餘各爲銖者，謂石、鈞、斤、兩 積銖除實，又以石、鈞、斤、兩積銖除法，餘各爲銖，即合所問。〕 今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤銖 率之，問各幾何？答曰：其一鈞二十斤六兩十一銖，五銖一錢；其一石一鈞七斤 一十二兩一十八銖，六銖一錢。

今有出錢六百二十，買羽二千一百翭。

〔翭，羽本也。數羽稱其本，猶數草木稱其根株。〕 欲其貴賤率之，問各幾何？答曰：其一千一百四十翭，三翭一錢； 其九百六十翭，四翭錢。

今有出錢九百八十，買矢榦五千八百二十枚。欲其貴賤率之，問各幾何？答 曰：其三百枚，五枚一錢；其五千五百二十枚，六枚一錢。

反其率術曰：以錢數爲法，所率爲實，實如法而一。不滿法者，反以實減 法。法少實多。二物各以所得多少之數乘法、實，即物數。

〔按：其率：出錢六百二十，買羽二千一百翭。反之，當二百四十錢， 一錢翭；其三百八十錢，一錢三翭。是錢有二價，物有貴賤。故以羽乘 錢，反其率也。

淳風等按：其率者，錢多物少；反其率知，錢少物多；多少相反，故曰反其 率也。其率者，以物數爲法，錢數爲實。反之知，以錢數爲法，物數爲實。不滿 法知，實餘也。當以餘物化爲錢矣。法爲凡錢，而今以化錢減之，故以實減法。

法少知，經分之所得，故曰法少；實多者，餘分之所益，故曰實多。乘實宜以多， 乘法宜以少，故曰各以其所得多少之數乘法、實，即物數。〕