九章算術

卷三

○衰分（以御貴賤稟稅） 衰分 〔衰分，差也。〕 術曰：各置列衰； 〔列衰，相與率也。重疊，則可約。〕 副併爲法，以所分乘未並者，各自爲實。實如法而一。

〔法集而衰別。數，本一也。今以所分乘上別，以下集除之，一乘一除，適 足相消，故所分猶存，且各應率而別也。於今有術，列衰各爲所求率，副併爲所 有率，所分爲所有數。又以經分言之，假令甲家三人，乙家二人，丙家一人，並 六人，共分十二，爲人得二也。欲復作逐家者，則當列置人數，以一人所得乘之。

今此術先乘而後除也。〕 不滿法者，以法命之。

今有大夫、不更、簪嫋、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿。欲以爵次分之， 問各得幾何？答曰：大夫得一鹿三分鹿之二；不更得一鹿三分鹿之一；簪嫋得一 鹿；上造得三分鹿之二；公士得三分鹿之一。

術曰：列置爵數，各自爲衰。

〔爵數者，謂大夫五，不更四，簪嫋三，上造二，公士一也。《墨子·號令 篇》以爵級爲賜，然則戰國之初有此名也。〕 副併爲法。以五鹿乘未並者各自爲實。實如法得一鹿。

〔今有術，列衰各爲所求率，副併爲所有率，今有鹿數爲所有數，而今有之， 即得。〕 今有牛、馬、羊食人苗。苗主責之粟五斗。羊主曰：“我羊食半馬。”馬主 曰：“我馬食半牛。”今欲衰償之，問各出幾何？答曰：牛主出二斗八升七分升 之四；馬主出一斗四升七分升之二；羊主出七升七分升之一。

術曰：置牛四、馬二、羊一，各自爲列衰，副併爲法。以五斗乘未並者各自 爲實。實如法得一斗。

〔淳風等按：此術問意，羊食半馬，馬食半牛，是謂四羊當一牛，二羊當一 馬。今術置羊一、馬二、牛四者，通其率以爲列衰。〕 今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關， 關稅百錢。欲以錢數多少衰出之，問各幾何？答曰：甲出五十一錢一百九分錢之 四十一；乙出三十二錢一百九分錢之一十二；丙出一十六錢一百九分錢之五十六。

術曰：各置錢數爲列衰，副併爲法。以百錢乘未並者，各自爲實。實如法得 一錢。

〔淳風等按：此術甲、乙、丙持錢數以爲列衰，副併爲所有率，未並者各爲 所求率，百錢爲所有數，而今有之，即得。〕 今有女子善織，日自倍，五日織五尺。問日織幾何？答曰：初日織一寸三十 一分寸之十九；次日織三寸三十一分寸之七；次日織六寸三十一分寸之十四；次 日織一尺二寸三十一分寸之二十八；次日織二尺五寸三十一分寸之二十五。

術曰：置一、二、四、八、十六爲列衰，副併爲法。以五尺乘未並者，各自 爲實。實如法得一尺。

今有北鄉算八千七百五十八，西鄉算七千二百三十六，南鄉算八千三百五十 六。凡三鄉發徭三百七十八人。欲以算數多少衰出之，問各幾何？答曰：北鄉遣 一百三十五人一萬二千一百七十五分人之一萬一千六百三十七；西鄉遣一百一十 二人一萬二千一百七十五分人之四千四；南鄉遣一百二十九人一萬二千一百七十 五分人之八千七百九。

術曰：各置算數爲列衰， 〔淳風等按：三鄉算數，約，可半者，爲列衰。〕 副併爲法。以所發徭人數乘未並者，各自爲實。實如法得一人。

〔按：此術，今有之義也。〕 今有稟粟，大夫、不更、簪嫋、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫 一人後來，亦當稟五斗。倉無粟，欲以衰出之，問各幾何？答曰：大夫出一斗四 分鬥之一；不更出一斗；簪嫋出四分鬥之三；上造出四分鬥之二；公士出四分鬥 之一。

術曰：各置所稟粟斛，斗數、爵次均之，以爲列衰。副並而加後來大夫亦五 鬥，得二十以爲法。以五斗乘未並者，各自爲實。實如法得一斗。

〔稟前五人十五斗者，大夫得五斗，不更得四鬥，簪嫋得三鬥，上造得二斗， 公士得一斗。欲令五人各依所得粟多少減與後來大夫，即與前來大夫同。據前來 大夫已得五斗，故言亦也。各以所得斗數爲衰，並得十五，而加後來大夫亦五斗， 凡二十，爲法也。是爲六人共出五斗，後來大夫亦俱損折。今有術，副併爲所有 率，未並者各爲所求率，五斗爲所有數，而今有之，即得。〕 今有稟粟五斛，五人分之。欲令三人得三，二人得二，問各幾何？答曰：三 人，人得一斛一斗五升十三分升之五；二人，人得七斗六升十三分升之十二。

術曰：置三人，人三；二人，人二，爲列衰。副併爲法。以五斛乘未並者各 自爲實。實如法得一斛。

反衰術曰：列置衰而令相乘，動者爲不動者衰。

今有大夫、不更、簪嫋、上造、公士凡五人，共出百錢。欲令高爵出少，以 次漸多，問各幾何？答曰：大夫出八錢一百三十七分錢之一百四；不更出一十錢 一百三十七分錢之一百三十；簪嫋出一十四錢一百三十七分錢之八十二；上造出 二十一錢一百三十七分錢之一百二十三；公士出四十三錢一百三十七分錢之一百 九。

術曰：置爵數，各自爲衰，而反衰之。副併爲法。以百錢乘未並者，各自爲 實。實如法得一錢。

〔以爵次言之，大夫五、不更四。欲令高爵得多者，當使大夫一人受五分， 不更一人受四分。人數爲母，分數爲子。母同則子齊，齊即衰也。故上衰分宜以 五、四爲列焉。今此令高爵出少，則當大夫五人共出一人分，不更四人共出一人 分，故謂之反衰。人數不同，則分數不齊。當令母互乘子。母互乘子，則動者爲 不動者衰也。亦可先同其母，各以分母約，其子爲反衰。副併爲法。以所分乘未 並者，各自爲實。實如法而一。〕 今有甲持粟三升，乙持糲米三升，丙持糲飯三升。欲令合而分之，問各幾何？ 答曰：甲二升一十分升之七；乙四升一十分升之五；丙一升一十分升之八。

術曰：以粟率五十、糲米率三十、糲飯率七十五爲衰，而反衰之。副併爲法。

以九升乘未並者，各自爲實。實如法得一升。

〔按：此術，三人所持升數雖等，論其本率，精粗不同。米率雖少，令最得 多；飯率雖多，反使得少。故令反之，使精得多而粗得少。於今有術，副併爲所 有率，未並者各爲所求率，九升爲所有數，而今有之，即得。〕 今有絲一斤，價直二百四十。今有錢一千三百二十八，問得絲幾何？答曰： 五斤八兩一十二銖五分銖之四。

術曰：以一斤價數爲法，以一斤乘今有錢數爲實。實如法得絲數。

〔按：此術今有之義，以一斤價爲所有率，一斤爲所求率，今有錢爲所有數， 而今有之，即得。〕 今有絲一斤，價直三百四十五。今有絲七兩一十二銖，問得錢幾何？答曰： 一百六十一錢三十二分錢之二十三。

術曰：以一斤銖數爲法，以一斤價數乘七兩一十二銖爲實。實如法得錢數。

〔淳風等按：此術亦今有之義。以絲一斤銖數爲所有率，價錢爲所求率，今 有絲爲所有數，而今有之，即得。〕 今有縑一丈，價直一百二十八。今有縑一匹九尺五寸，問得錢幾何？答曰： 六百三十三錢五分錢之三。

術曰：以一丈寸數爲法，以價錢數乘今有縑寸數爲實。實如法得錢數。

〔淳風等按：此術亦今有之義。以縑一丈寸數爲所有率，價錢爲所求率，今 有縑寸數爲所有數，而今有之，即得。〕 今有布一匹，價直一百二十五。今有布二丈七尺，問得錢幾何？答曰：八十 四錢八分錢之三。

術曰：以一匹尺數爲法，今有布尺數乘價錢爲實。實如法得錢數。

〔淳風等按：此術亦今有之義。以一匹尺數爲所有率，價錢爲所求率，今有 布爲所有數，今有之，即得。〕 今有素一匹一丈，價直六百二十五。今有錢五百，問得素幾何？答曰：得素 一匹。

術曰：以價直爲法，以一匹一丈尺數乘今有錢數爲實。實如法得素數。

〔淳風等按：此術亦今有之義。以價錢爲所有率，五丈尺數爲所求率，今有 錢爲所有數，今有之，即得。〕 今有與人絲一十四斤，約得縑一十斤。今與人絲四十五斤八兩，問得縑幾何？ 答曰：三十二斤八兩。

術曰：以一十四斤兩數爲法，以一十斤乘今有絲兩數爲實。實如法得縑數。

〔淳風等按：此術亦今有之義。以一十四斤兩數爲所有率，一十斤爲所求率， 今有絲爲所有數，而今有之，即得。〕 今有絲一斤，耗七兩。今有絲二十三斤五兩，問耗幾何？答曰：一百六十三 兩四銖半。

術曰：以一斤展十六兩爲法。以七兩乘今有絲兩數爲實。實如法得耗數。

〔淳風等按：此術亦今有之義。以一斤爲十六兩爲所有率，七兩爲所求率， 今有絲爲所有數，而今有之，即得。〕 今有生絲三十斤，幹之，耗三斤十二兩。今有乾絲一十二斤，問生絲幾何？ 答曰：一十三斤一十一兩十銖七分銖之二。

術曰：置生絲兩數，除耗數，餘，以爲法。

〔餘四百二十兩，即乾絲率。〕 三十斤乘乾絲兩數爲實。實如法得生絲數。

〔凡所得率，如細則俱細，粗則俱粗，兩數相抱而已。故品物不同，如上縑、 絲之比，相與率焉。三十斤凡四百八十兩，今生絲率四百八十兩，今乾絲率四百 二十兩，則其數相通。可俱爲銖，可俱爲兩，可俱爲斤，，無所歸滯也。若然， 宜以所有乾絲斤數乘生絲兩數爲實。今以斤、兩錯互而亦同歸者，使乾絲以兩數 爲率，生絲以斤數爲率，譬之異類，亦各有一定之勢。

淳風等按：此術，置生絲兩數，除耗數，餘即乾絲之率，於今有術爲所有率； 三十斤爲所求率，乾絲兩數爲所有數。凡所爲率者，細則俱細，粗則俱粗。今有 一斤乘兩知，乾絲即以兩數爲率，生絲即以斤數爲率，譬之異物，各有一定之率 也。〕 今有田一畝，收粟六升太半升。今有田一頃二十六畝一百五十九步，問收粟 幾何？答曰：八斛四鬥四升一十二分升之五。

術曰：以畝二百四十步爲法。以六升太半升乘今有田積步爲實。實如法得粟 數。

〔淳風等按：此術亦今有之義。以一畝步數爲所有率，六升太半升爲所求率， 今有田積步爲所有數，而今有之，即得。〕 今有取保，一歲價錢二千五百。今先取一千二百，問當作日幾何？答曰：一 百六十九日二十五分日之二十三。

術曰：以價錢爲法，以一歲三百五十四日乘先取錢數爲實。實如法得日數。

〔淳風等按：此術亦今有之義。以價爲所有率，一歲日數爲所求率，取錢爲 所有數，而今有之，即得。〕 今有貸人千錢，月息三十。今有貸人七百五十錢，九日歸之，問息幾何？答 曰：六錢四分錢之三。

術曰：以月三十日乘千錢爲法。

〔以三十日乘千錢爲法者，得三萬，是爲貸人錢三萬，一日息三十也。〕 以息三十乘今所貸錢數，又以九日乘之，爲實。實如法得一錢。

〔以九日乘今所貸錢爲今一日所有錢，於今有術爲所有數，息三十爲所求率； 三萬錢爲所有率。此又可以一月三十日約息三十錢，爲十分一日，以乘今一日所 有錢爲實；千錢爲法。爲率者，當等之於一也。故三十日或可乘本，或可約息， 皆所以等之也。〕