九章算術

卷七

○盈不足（以御隱雜互見） 今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數、物價各幾何？答曰： 七人。物價五十三。

今有共買雞，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。問人數、雞價各幾何？ 答曰：九人。雞價七十。

今有共買璡，人出半，盈四；人出少半，不足三。問人數、璡價各幾何？答 曰：四十二人。璡價十七。

〔注云“若兩設有分者，齊其子，同其母”，此問兩設俱見零分，故齊其子， 同其母。又云“令下維乘上。訖，以同約之”，不可約，故以乘，同之。〕 今有共買牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三 十。問家數、牛價各幾何？答曰：一百二十六家。牛價三千七百五十。

〔按：此術並盈不足者，爲衆家之差，故以爲實。置所出率，各以家數除之， 各得一家所出率。以少減多者，得一家之差。以除，即家數。以出率乘之，減盈， 故得牛價也。〕 術曰：置所出率，盈不足各居其下。令維乘所出率，並，以爲實。並盈、不 足，爲法。實如法而一。

〔按：盈者，謂朓；不足者，謂之朒；所出率謂之假令。盈、朒維乘兩 設者，欲爲同齊之意。據“共買物，人出八，盈三；人出七，不足四”，齊其假 令，同其盈、朒，盈、朒俱十二。通計齊則不盈不朒之正數，故可並之爲 實，並盈、不足爲法。齊之三十二者，是四假令，有盈十二；齊之二十一者，是 三假令，亦朒十二；並七假令合爲一實，故並三、四爲法。〕 有分者通之。

〔若兩設有分者，齊其子，同其母。令下維乘上，訖，以同約之。〕 盈不足相與同其買物者，置所出率，以少減多，餘，以約法、實。實爲物價， 法爲人數。

〔“所出率以少減多”者，餘，謂之設差，以爲少設。則並盈、朒，是爲 定實。故以少設約定實，則法，爲人數；適足之實故爲物價。盈朒當與少設相 通。不可遍約，亦當分母乘，設差爲約法、實。〕 其一術曰：並盈、不足爲實。以所出率，以少減多，餘爲法。實如法得一人。

以所出率乘之，減盈、增不足，即物價。

〔此術意謂盈不足爲衆人之差。以所出率以少減多，餘爲一人之差。以一人 之差約衆人之差，故得人數也。〕 今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問人數、金價各 幾何？答曰：三十三人。金價九千八百。

今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。問人數、羊價各幾何？ 答曰：二十一人。羊價一百五十。

術曰：置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出率，以少減多，餘爲實。

兩盈、兩不足以少減多，餘爲法。實如法而一。有分者，通之。兩盈兩不足相與 同其買物者，置所出率，以少減多，餘，以約法、實。實爲物價，法爲人數。

〔按：此術兩不足者，兩設皆不足於正數。其所以變化，猶兩盈。而或有勢 同而情違者。當其爲實，俱令不足維乘相減，則遺其所不足焉。故其餘所以爲實 者，無朒數以損焉。蓋出而有餘，兩盈。兩設皆逾於正數。假令與共買物，人 出八，盈三；人出九，盈十。齊其假令，同其兩盈。兩盈俱三十。舉齊則兼去。

其餘所以爲實者，無盈數。兩盈以少減多，餘爲法。齊之八十者，是十假令；而 凡盈三十者，是十，以三之；齊之二十七者，是三假令；而凡盈三十者，是三， 以十之。今假令兩盈共十、三，以三減十，餘七，爲一實。故令以三減十，餘七 爲法。所出率以少減多，餘謂之設差。因設差爲少設，則兩盈之差是爲定實。故 以少設約法得人數，約實即得金數。〕 其一術曰：置所出率，以少減多，餘爲法。兩盈、兩不足以少減多，餘爲實。

實如法而一，得人數。以所出率乘之，減盈、增不足，即物價。

〔“置所出率，以少減多”，得一人之差。兩盈、兩不足相減，爲衆人之差。

故以一人之差除之，得人數。以所出率乘之，減盈、增不足，即物價。〕 今有共買犬，人出五，不足九十；人出五十，適足。問人數、犬價各幾何？ 答曰：二人。犬價一百。

今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數、豕價各幾何？ 答曰：一十人。豕價九百。

術曰：以盈及不足之數爲實。置所出率，以少減多，餘爲法。實如法得一人。

其求物價者，以適足乘人數，得物價。

〔此術意謂以所出率，以少減多者，餘是一人不足之差。不足數爲衆人之差。

以一人差約之，故得人之數也。以盈及不足數爲實者，數單見，即衆人差，故以 爲實。所出率以少減多，即一人差，故以爲法。以除衆人差，得人數。以適足乘 人數，即得物價也。〕 今有米在十鬥桶中，不知其數。滿中添粟而舂之，得米七鬥。問故米幾何？ 答曰：二斗五升。

術曰：以盈不足術求之。假令故米二斗，不足二升；令之三鬥，有餘二升。

〔按：桶受一斛，若使故米二斗，須添粟八斗以滿之。八斗得糲米四鬥八升， 課於七鬥，是爲不足二升。若使故米三鬥，須添粟七鬥以滿之。七鬥得糲米四鬥 二升，課於七鬥，是爲有餘二升。以盈不足維乘假令之數者，欲爲齊同之意。爲 齊同者，齊其假令，同其盈朒。通計齊即不盈不朒之正數，故可以並之爲實， 並盈、不足爲法。實如法，即得故米斗數，乃不盈不朒之正數也。〕 今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日長七寸；瓠生其下，蔓日長一尺。問幾何日 相逢？瓜、瓠各長几何？答曰：五日十七分日之五。瓜長三尺七寸一十七分寸之 一。瓠長五尺二寸一十七分寸之一十六。

術曰：假令五日，不足五寸；令之六日，有餘一尺二寸。

〔按：“假令五日，不足五寸”者，瓜生五日，下垂蔓三尺五寸；瓠生五日， 上延蔓五尺；課於九尺之垣，是爲不足五寸。“令之六日，有餘一尺二寸”者， 若使瓜生六日，下垂蔓四尺二寸；瓠生六日，上延蔓六尺；課於九尺之垣，是爲 有餘一尺二寸。以盈、不足維乘假令之數者，欲爲齊同之意。齊其假令，同其盈 朒。通計齊即不盈不朒之正數，故可並以爲實，並盈、不足爲法。實如法而 一，即設差不盈不朒之正數，即得日數。以瓜、瓠一日之長乘之，故各得其長 之數也。〕 今有蒲生一日，長三尺；莞生一日，長一尺。蒲生日自半，莞生日自倍。問 幾何日而長等？答曰：二日十三分日之六。各長四尺八寸一十三分寸之六。

術曰：假令二日，不足一尺五寸；令之三日，有餘一尺七寸半。

〔按：“假令二日，不足一尺五寸”者，蒲生二日，長四尺五寸；莞生二日， 長三尺；是爲未相及一尺五寸，故曰不足。“令之三日，有餘一尺七寸半”者， 蒲增前七寸半，莞增前四尺，是爲過一尺七寸半，故曰有餘。以盈不足乘除之。

又以後一日所長各乘日分子，如日分母而一者，各得日分子之長也。故各增二日 定長，即得其數。〕 今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十。今將錢三十，得酒二斗。

問醇、行酒各得幾何？答曰：醇酒二升半。行灑一斗七升半。

術曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有餘一十；令之醇酒二升，行酒一斗 八升，不足二。

〔據醇酒五升，直錢二十五；行酒一斗五升，直錢一十五；課於三十，是爲 有餘十。據醇酒二升，直錢一十；行酒一斗八升，直錢一十八；課於三十，是爲 不足二。以盈不足術求之。此問已有重設及其齊同之意也。〕 今有大器五，小器一，容三斛；大器一，小器五，容二斛。問大、小器各容 幾何？答曰：大器容二十四分斛之十三。小器容二十四分斛之七。

術曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十鬥；令之大器五斗五升，小器二 鬥五升，不足二斗。

〔按：大器容五斗，大器五容二斛五斗。以減三斛，餘五鬥，即小器一所容。

故曰“小器亦五斗”。小器五容二斛五斗，大器一，合爲三斛。課於兩斛，乃多 十鬥。令之大器五斗五升，大器五合容二斛七鬥五升。以減三斛，餘二鬥五升， 即小器一所容。故曰小器二斗五升”。大器一容五斗五升，小器五合容一斛二斗 五升，合爲一斛八斗。課於二斛，少二斗。故曰“不足二斗”。以盈不足維乘， 除之。〕 今有漆三得油四，油四和漆五。今有漆三鬥，欲令分以易油，還自和餘漆。

問出漆、得油、和漆各幾何？答曰：出漆一斗一升四分升之一。得油一斗五升。

和漆一斗八升四分升之三。

術曰：假令出漆九升，不足六升；令之出漆一斗二升，有餘二升。

〔按：此術三鬥之漆，出九升，得油一斗二升，可和漆一斗五升，餘有二斗 一升，則六升無油可和，故曰“不足六升”。令之出漆一斗二升，則易得油一斗 六升，可和漆二斗。於三鬥之中已出一斗二升，餘有一斗八升。見在油合和得漆 二斗，則是有餘二升。以盈、不足維乘之，爲實。並盈、不足爲法。實如法而一， 得出漆升數。求油及和漆者，四、五各爲所求率，三、四各爲所有率，而今有之， 即得也。〕 今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩。今有石立方三寸，中有玉，並 重十一斤。問玉、石重各幾何？答曰：玉一十四寸，重六斤二兩。石一十三寸， 重四斤一十四兩。

術曰：假令皆玉，多十三兩；令之皆石，不足一十四兩。不足爲玉，多爲石。

各以一寸之重乘之，得玉、石之積重。

〔立方三寸是一面之方，計積二十七寸。玉方一寸重七兩，石方一寸重六兩， 是爲玉、石重差一兩。假令皆玉，合有一百八十九兩。課於一十一斤，有餘一十 三兩。玉重而石輕，故有此多。即二十七寸之中有十三寸，寸損一兩，則以爲石 重，故言多爲石。言多之數出於石以爲玉。假令皆石，合有一百六十二兩。課於 十一斤，少十四兩，故曰不足。此不足即以重爲輕。故令減少數於並重，即二十 七寸之中有十四寸，寸增一兩也。〕 今有善田一畝，價三百；惡田七畝，價五百。今並買一頃，價錢一萬。問善、 惡田各幾何？答曰：善田一十二畝半。惡田八十七畝半。

術曰：假令善田二十畝，惡田八十畝，多一千七百一十四錢七分錢之二；令 之善田一十畝，惡田九十畝，不足五百七十一錢七分錢之三。

〔按：善田二十畝，直錢六千；惡田八十畝，直錢五千七百一十四、七分錢 之二，課於一萬，是多一千七百一十四、七分錢之二。令之善田十畝，直錢三千； 惡田九十畝，直錢六千四百二十八、七分錢之四；課於一萬，是爲不足五百七十 一、七分錢之三。以盈不足術求之也。〕 今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重，適等。交 易其一，金輕十三兩。問 金、銀一枚各重幾何？答曰：金重二斤三兩一十八銖。銀重一斤一十三兩六銖。

術曰：假令黃金三斤，白銀二斤一十一分斤之五，不足四十九，於右行。令 之黃金二斤，白銀一斤一十一分斤之七，多一十五，於左行。以分母各乘其行內 之數。以盈、不足維乘所出率，並，以爲實。並盈、不足爲法。實如法，得黃金 重。分母乘法以除，得銀重。約之得分也。

〔按：此術假令黃金九，白銀一十一，俱重二十七斤。金，九約之，得三斤； 銀，一十一約之，得二斤一十一分斤之五；各爲金、銀一枚重數。就金重二十七 斤之中減一金之重，以益銀，銀重二十七斤之中減一銀之重，以益金，則金重二 十六斤一十一分斤之五，銀重二十七斤一十一分斤之六。以少減多，則金輕一十 七兩一十一分兩之五。課於一十三兩，多四兩一十一分兩之五。通分內子言之， 是爲不足四十九。又令之黃金九，一枚重二斤，九枚重一十八斤；白銀一十一， 亦合重一十八斤也。乃以一十一除之，得一斤一十一分斤之七，爲銀一枚之重數。

今就金重一十八斤之中減一枚金，以益銀；復減一枚銀，以益金，則金重一十七 斤一十一分斤之七，銀重一十八斤一十一分斤之四。以少減多，即金輕一十一分 斤之八。課於一十三兩，少一兩一十一分兩之四。通分內子言之，是爲多一十五。

以盈不足爲之，如法，得金重。分母乘法以除者，爲銀兩分母，故同之。須通法 而後乃除，得銀重。餘皆約之者，術省故也。〕 今有良馬與駑馬髮長安，至齊。齊去長安三千里。良馬初日行一百九十三裏， 日增一十三裏，駑馬初日行九十七裏，日減半里。良馬先至齊，復還迎駑馬。問 幾何日相逢及各行幾何？答曰：一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢。

良馬行四千五百三十四里一百九十一分裏之四十六。駑馬行一千四百六十五里一 百九十一分裏之一百四十五。

術曰：假令十五日，不足三百三十七裏半；令之十六日，多一百四十里。以 盈、不足維乘假令之數，並而爲實。並盈、不足爲法。實如法而一，得日數。不 盡者，以等數除之而命分。求良馬行者：十四乘益疾裏數而半之，加良馬初日之 行裏數，以乘十五日，得十五日之凡行。又以十五日乘益疾裏數，加良馬初日之 行。以乘日分子，如日分母而一。所得，加前良馬凡行裏數，即得。其不盡而命 分。求駑馬行者：以十四乘半里，又半之，以減駑馬初日之行裏數，以乘十五日， 得駑馬十五日之凡行。又以十五日乘半里，以減駑馬初日之行，餘，以乘日分子， 如日分母而一。所得，加前裏，即駑馬定行裏數。其奇半里者，爲半法。以半法 增殘分，即得。其不盡者而命分。

〔按：“令十五日，不足三百三十七裏半”者，據良馬十五日凡行四千二百 六十里，除先去齊三千里，定還迎駑馬一千二百六十里；駑馬十五日凡行一千四 百二里半，並良、駑二馬所行，得二千六百六十二里半。課於三千里，少三百三 十七裏半。故曰不足。“令之十六日，多一百四十里”者，據良馬十六日凡行四 千六百四十八里；除先去齊三千里，定還迎駑馬一千六百四十八里，駑馬十六日 凡行一千四百九十二里。並良、駑二馬所行，得三千一百四十里。課於三千里， 餘有一百四十里。故謂之多也。以盈不足之，實如法而一，得日數者，即設差不 盈不朒之正數。以二馬初日所行裏乘十五日，爲一十五日平行數。求初末益疾 減遲之數者，並一與十四，以十四乘而半之，爲中平之積。又令益疾減遲裏數乘 之，各爲減益之中平裏。故各減益平行數，得一十五日定行裏。若求後一日，以 十六日之定行裏數乘日分子，如日分母而一，各得日分子之定行裏數。故各並十 五日定行裏，即得。其駑馬奇半里者，法爲全裏之分，故破半里爲半法，以增殘 分，即合所問也。〕 今有人持錢之蜀賈，利十，三。初返歸一萬四千，次返歸一萬三千，次返歸 一萬二千，次返歸一萬一千，後返歸一萬。凡五返歸錢，本利俱盡。問本持錢及 利各幾何？答曰：本三萬四百六十八錢三十七萬一千二百九十三分錢之八萬四千 八百七十六。利二萬九千五百三十一錢三十七萬一千二百九十三分錢之二十八萬 六千四百一十七。

術曰：假令本錢三萬，不足一千七百三十八錢半；令之四萬，多三萬五千三 百九十錢八分。

〔按：假令本錢三萬，並利爲三萬九千；除初返歸留，餘，加利爲三萬二千 五百；除二返歸留，餘，又加利爲二萬五千三百五十；除第三返歸留，餘，又加 利爲一萬七千三百五十五；除第四返歸留，餘，又加利爲八千二百六十一錢半； 除第五返歸留，合一萬錢，不足一千七百三十八錢半。若使本錢四萬，並利爲五 萬二千；除初返歸留，餘，加利爲四萬九千四百；除第二返歸留，餘，又加利爲 四萬七千三百二十；除第三返歸留，餘，又加利爲四萬五千九百一十六；除第四 返歸留，餘，又加利爲四萬五千三百九十錢八分；除第五返歸留，合一萬，餘三 萬五千三百九十錢八分，故曰多。

又術：置後返歸一萬，以十乘之，十三而一，即後所持之本。加一萬一千， 又以十乘之，十三而一，即第四返之本。加一萬二千，又以十乘之，十三而一， 即第三返之本。加一萬三千，又以十乘之，十三而一，即第二返之本。加一萬四 千，又以十乘之，十三而一，即初持之本。並五返之錢以減之，即利也。〕 今有垣厚五尺，兩鼠對穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠 日自半。問幾何日相逢？各穿幾何？答曰：二日一十七分日之二。大鼠穿三尺四 寸十七分寸之一十二，小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。

術曰：假令二日，不足五寸；令之三日，有餘三尺七寸半。

〔大鼠日倍，二日合穿三尺；小鼠日自半，合穿一尺五寸；並大鼠所穿，合 四尺五寸。課於垣厚五尺，是爲不足五寸。令之三日，大鼠穿得七尺，小鼠穿得 一尺七寸半。並之，以減垣厚五尺，有餘三尺七寸半。以盈不足術求之，即得。

以後一日所穿乘日分子，如日分母而一，即各得日分子之中所穿。故各增二日定 穿，即合所問也。〕