夢溪筆談

象數一

開元《大衍曆法》最爲精密，歷代用其朔法。至熙寧中考之，歷已後天五十餘刻，而前世歷官皆不能知。《奉元歷》乃移其閏朔。熙寧十年，天正元用午時。新曆改用子時；閏十二月改爲閏正月。四夷朝貢者用舊曆，比來款塞，衆論謂氣至無顯驗可據。因此以搖新曆。事下有司考定。凡立冬晷景，與立春之景相若者也。今二景短長不同，則知天正之氣偏也。移五十餘刻，立冬、立春之景方停。以此爲驗，論者乃屈。元會使人亦至，曆法遂定。

正月寅，二月卯，謂之建，其說謂斗杓所建，不必用此說。但春爲寅、卯、辰，夏爲巳、午、未，理自當然，不須因鬥建也。緣鬥建有歳差，蓋古人未有歳差之法。《顓帝歷》：“冬至日宿鬥初”今宿斗六度。古者正月斗杓建寅，今則正月建醜矣。又歳與歳合，今亦差一辰。《堯曲》曰；“日短星昴。”今乃日短星東壁。此皆隨歳差移也。

天文家有渾儀，測天之器，設於崇臺，以候垂象者，則古機衡是也。渾象，象天之器，以水激之，或以水銀轉之，置於密室，與天行相符，張衡、陸績所爲，及開元中置於武成殿者，皆此器也。皇祐中，禮部試《機衡正天文之器賦》，舉人皆雜用渾象事，試官亦自不曉，第爲高等。漢以前皆以北辰居天中，故謂之極星，自祖亙以機衡考驗天極不動外，乃在極星之末猶一度有餘。熙寧中，餘受詔典領歷官，雜考星曆，以機衡求極星。初夜在窺管中，少時復出，以此知窺管小，不能容極星遊轉，乃稍稍展窺管候之。凡歷三月，極星方遊於窺管之內，常見不隱，然後知天極不動處，遠極星猶三度有餘。每極星入窺管，別畫爲一圖。圖爲一圓規，乃畫極星於規中。具初夜、中夜、後夜所見各圖之，凡爲二百餘圖，極星方常循圓規之內，夜夜不差。餘於《熙寧歷奏議》中敘之甚詳。

古今言刻漏者數十家，悉皆疏謬。歷家言晷漏者，自《顓帝歷》至今，見於世謂之大曆者，凡二十五家。其步漏之術，皆未合天度。餘佔天侯景，以至驗於儀象，考數下漏，凡十餘年，方粗見真數，成書四卷，謂之《熙寧晷漏》，皆非襲蹈前人之跡。其間二事尤微：一者，下漏家常患冬月水澀，夏月水利，以爲水性如此；又疑冰澌所壅，萬方理之。終不應法。餘以理求之，冬至日行速，天運已期，而日已過表，故百刻而有餘；夏至日行遲，天運未期，而日已至表，故不及百刻。既得此數，然後覆求晷景漏刻，莫不脗合。此古人之所未知也。二者，日之盈縮，其消長以漸，無一日頓殊之理。曆法皆以一日氣短長之中者，播爲刻分，累損益，氣初日衰，每日消長常同；至交一氣，則頓易刻衰。故黃道有觚而不圓，縱有強爲數以步之者，亦非乘理用算，而多形數相詭。大凡物有定形，形有真數。方圓端斜，定形也；乘除相蕩，無所附益，泯然冥會者，真數也。其術可以心得，不可以言喻。黃道環天正圓，圓之爲體，循之則其妥至均，不均不能中規衡；絕之則有舒有數，無舒數則不能成妥。以圓法相蕩而得衰，則衰無不均；以妥法相蕩而得差，則差有疏數。相因以求從，相消以求負；從、負相入，會一術以御日行。以言其變，則秒刻之間，消長未嘗同；以言其齊，則止用一衰，循環無端，終始如貫，不能議其隙。此圓法之微，古之言算者，有所未知也。以日衰生日積，及生日衰，終始相求，迭爲賓主。順循之以索日變，衡別之求去極之度，合散無跡，泯如運規。非深知造算之理者，不能與其微也。其詳具餘《奏議》，藏在史官，及餘所著《熙寧晷漏》四卷之中。

予編校昭文書時，預詳定渾天儀。官長問餘：“二十八宿，多者三十三度，少者止一度，如此不均，何也？”予對曰：“天事本無度，推歷者無以寓其數，乃以日所分天爲三百六十五度有奇。日平行三百六十五日有餘而一期天，故以一日爲一度。既分之，必有物記之，然後可窺而數，於是以當度之星記之。循黃道，日之所行一期，當者止二十八宿星而已。度如傘虡，當度謂正當傘虡上者。故車蓋二十八弓，以象二十八宿。則餘《渾儀奏議》所謂‘度不可見，可見者星也。日月五星之所由，有星焉。當度之畫者凡二十有八，謂之舍。舍所以挈度，度所以生數也。’今所謂‘距度星’者是也。非不欲均也。黃道所由當度之星，止有此而已。”

又問予以“日月之形，如丸邪？如扇也？若如丸，則其相遇豈不相礙？”餘對曰：“日月之形如丸。何以知之？以月盈虧可驗也。月本無光，猶銀丸，日耀之乃光耳。光之初生，日在其傍，故光側而所見才如鉤；日漸遠，則斜照，而光稍滿。如一彈丸，以粉塗其半，側視之，則粉處如鉤；對視之，則正圓，此有以知其如丸也。日、月，氣也，有形而無質，故相直而無礙。”

又問：“日月之行，日一合一對，而有蝕不蝕，何也？”餘對曰：“黃道與月道，如二環相疊而小差。凡日月同在一度相遇，則日爲之蝕；正一度相對，則月爲小虧。雖同一度，而月道與黃道不相近，自不相侵；同度而又近黃道、月道之交。日月相值，乃相凌掩。正當其交處則蝕而既；不全當交道，則隨其相犯淺深而蝕，凡日蝕，當月道自外而交入於內，則蝕起於西南，復於東北；自內而交出於外，則蝕起於西北，而復於東南。日在交東，則蝕其內；日在交西，則蝕其外。蝕既，則起於正西，復於正東。凡月蝕，月道自外入內，則蝕起於東南，復於西北；自內出外，則蝕起於東北，而復於西南。月在交東，則蝕其外；月在交西，則蝕其內，蝕既，則起於正東，復於西。交道每月退一度餘，凡二百四十九交而一期。故西天法羅睺、計都，皆逆步之，乃今之交道也。交初謂之‘羅睺’，交中謂之‘計都’。”

慶曆中，有一術士姓李，多巧思。嘗木刻一“舞鍾馗”，高二三尺，右手持鐵簡，以香餌置鍾馗左手中。鼠緣手取食，則左手扼鼠，右手運簡斃之。以獻荊王，王館於門下。會太史言月當蝕於昏時，李自雲：“有術可禳。”荊王試使爲之，是夜月果不蝕。王大神之，即日表聞，詔付內侍省問狀。李雲：“本善歷術，知《崇天曆》蝕限太弱，此月所蝕，當有濁中。以微賤不能自通，始以機巧幹荊邸，今又假禳以動朝廷耳。”詔送司天監考驗。李與判監楚衍推步日月蝕，遂加蝕限二刻；李補司天學生。至熙寧元年七月，日辰蝕東方，不效。卻是蝕限太強，歷官皆坐謫。令監官周琮重修，復減去慶曆所加二刻。苟欲求熙寧日蝕，而慶曆之蝕復失之，議久紛紛，卒無巧算，遂廢《明天》，復行《崇天》。至熙寧五年，衛樸造《奉元歷》，始知舊蝕法止用日平度，故在疾者過之，在遲者不及。《崇》、《明》二歷加減，皆不曾求其所因，至是方究其失。